Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien que tiré d'un sujet de brevet initialement, constitue une excellente base de révision pour le début de la classe de Première Spécialité. Il traite de la modélisation algébrique d'un algorithme de calcul et de l'étude d'une fonction polynôme du second degré sous sa forme développée et factorisée.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les compétences suivantes :
- Développement et réduction : Savoir distribuer un produit de deux binômes (double distributivité).
- Modélisation : Traduire des étapes textuelles en une expression littérale en utilisant une variable x.
- Factorisation : Reconnaître un facteur commun simple (ici x) pour résoudre une équation produit nul.
- Logique algorithmique : Comprendre le fonctionnement séquentiel d'un programme de calcul.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Application numérique :
Pour le nombre 4 : Étape 2 (4+6=10), Étape 3 (4-5=-1), Étape 4 (10 × -1 = -10), Étape 5 (-10 + 30 = 20). Le résultat est bien 20.
Pour le nombre -3 : Étape 2 (-3+6=3), Étape 3 (-3-5=-8), Étape 4 (3 × -8 = -24), Étape 5 (-24 + 30 = 6).
2. Utilisation du tableur :
Dans la cellule B4, pour effectuer le produit des étapes 2 (cellule B2) et 3 (cellule B3), Ismaël doit saisir la formule : =B2*B3.
3. Démonstration algébrique :
Appelons x le nombre de départ. Traduisons le programme :
Étape 4 : (x + 6)(x - 5)
Étape 5 (Résultat) : (x + 6)(x - 5) + 30
Développons cette expression :
x² - 5x + 6x - 30 + 30 = x² + x.
L'affirmation de Zoé est donc démontrée pour tout nombre réel x.
4. Résolution d'équation :
On cherche x tel que x² + x = 0. En factorisant par x, on obtient : x(x + 1) = 0.
Il s'agit d'une équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On a donc x = 0 ou x + 1 = 0 (soit x = -1). Les solutions sont 0 et -1.