Analyse de l'énoncé : La modélisation par les suites
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une introduction parfaite au chapitre sur les suites numériques du programme de Première Spécialité. La situation décrit un empilement pyramidal à base carrée. Chaque niveau $k$ (en partant du haut) est un carré parfait. Ainsi, si on note $u_k$ le nombre de boulets au niveau $k$, on a la relation explicite $u_k = k^2$.
Le nombre total de boulets pour un empilement à $n$ niveaux correspond alors à la somme des premiers carrés parfaits : $S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2$. En classe de Première, cette situation permet d'illustrer la somme de termes d'une suite qui n'est ni arithmétique, ni géométrique, mais dont la formule de sommation est classique : $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Points de vigilance et notions requises
- Calcul de somme : Il faut comprendre que chaque niveau s'ajoute au précédent. Pour l'empilement à 3 niveaux, on calcule $S_3 = 1^2 + 2^2 + 3^2$.
- Conversion d'unités : C'est le piège principal de la question 4. La masse volumique est donnée en $kg/m^3$ alors que le rayon est en $cm$. Il est impératif de convertir le rayon en mètres ($0,06$ m) avant de calculer le volume.
- Précision numérique : L'utilisation de $\pi$ et des arrondis successifs peut induire des erreurs. Il est conseillé de garder la valeur exacte jusqu'au calcul final.
Correction détaillée
1. Empilement à 2 niveaux : Le premier niveau contient $1^2 = 1$ boulet. Le second niveau contient $2^2 = 4$ boulets. Total : $1 + 4 = 5$ boulets.
2. Empilement à 3 niveaux : On ajoute au total précédent le troisième niveau, soit $3^2 = 9$ boulets. On obtient $5 + 9 = 14$ boulets. La structure est une pyramide où chaque couche repose sur un carré de côté $k$.
3. Recherche du nombre de niveaux pour 55 boulets : Continuons la suite des sommes $S_n$ :
- $S_4 = S_3 + 4^2 = 14 + 16 = 30$.
- $S_5 = S_4 + 5^2 = 30 + 25 = 55$.
L'empilement comporte donc 5 niveaux.
4. Calcul de la masse de l'empilement à 3 niveaux :
- Volume d'un boulet : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = 288\pi \approx 904,78$ cm³.
- Conversion en m³ : $V \approx 0,00090478$ m³.
- Volume total pour 14 boulets : $14 \times 0,00090478 \approx 0,012667$ m³.
- Masse totale : $M = 0,012667 \times 7300 \approx 92,469$ kg.
Au kilogramme près, la masse est bien de $92$ kg.