Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet de Polynésie 2019, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) balayant plusieurs domaines fondamentaux des mathématiques : l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers, critères de primalité), la proportionnalité (engrenages) et la géométrie plane (théorème de Thalès).

Points de vigilance et notions de cours

• Arithmétique : Un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même. Pour la décomposition, on utilise les nombres premiers dans l'ordre croissant (2, 3, 5, 7...).
• Engrenages : Le nombre de tours est inversement proportionnel au nombre de dents. Si une roue est deux fois plus petite, elle fait deux fois plus de tours.
• Théorème de Thalès : Dans une configuration en 'papillon' ou classique, le parallélisme des droites permet d'établir l'égalité des rapports de longueurs : RV/RT = RP/RS = PV/TS.

Correction détaillée

Question 1 : La décomposition de 24. On divise par les plus petits nombres premiers : 24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3. La réponse exacte est la B.

Question 2 : Nombre premier. 2255 se termine par 5, il est divisible par 5. Pour 7113, la somme des chiffres est 7+1+1+3 = 12 (divisible par 3). 8191 est un nombre premier (réponse B).

Question 3 : Selon les données du sujet original, la roue B (grande) possède 12 dents et la roue A (petite) 6 dents. Le rapport de réduction est de 2. Si la roue B fait 2 tours, la roue A en fait 2 × 2 = 4 (réponse B).

Question 4 : En utilisant le théorème de Thalès dans la configuration papillon (TS // PV), on a : RV/RT = RP/RS. En remplaçant par les valeurs RV=3, RT=7,2 et RS=8,4, on obtient RP = (3 × 8,4) / 7,2 = 25,2 / 7,2 = 3,5. La longueur PV (ou RP selon l'interprétation du schéma) correspondante est 3,5 cm (réponse C).