Analyse de l'énoncé
Cet exercice propose une approche progressive de la modélisation algébrique, partant d'un programme de calcul arithmétique simple pour aboutir à l'étude d'une fonction du second degré. L'objectif est de faire le lien entre une suite d'instructions (algorithme), sa représentation informatique (Scratch) et sa formalisation mathématique (polynôme). Pour un élève de Première Spécialité, cet exercice permet de réviser les bases de la manipulation des expressions littérales et d'anticiper l'étude des racines d'un trinôme.
Points de vigilance et notions requises
Plusieurs points demandent une attention particulière :
- Calcul avec les nombres relatifs : Lors de l'application au nombre -3, il ne faut pas oublier que le carré d'un nombre négatif est positif : $(-3)^2 = 9$.
- Logique algorithmique : Dans le script Scratch, les variables x, y et z s'enchaînent. Il faut bien réutiliser le résultat de l'étape précédente.
- Factorisation et Équation produit nul : La résolution de $x^2 + 3x - 10 = 0$ nécessite soit de reconnaître la forme factorisée proposée, soit d'utiliser le discriminant $\Delta$ (notion centrale du programme de Première).
Correction Détaillée
1. Vérification pour le nombre 4 :
Le programme effectue : $4^2 + 3 \times 4 - 10 = 16 + 12 - 10 = 18$. Le résultat est bien 18.
2. Application pour le nombre -3 :
Calcul : $(-3)^2 + 3 \times (-3) - 10 = 9 - 9 - 10 = -10$.
3. Complétion du script Scratch :
- Ligne 5 : mettre
z à y + 3 * x - Ligne 6 : mettre
Résultat à z - 10
4. Analyse algébrique :
a. Soit $x$ le nombre de départ. Le programme se traduit par l'expression : $f(x) = x^2 + 3x - 10$.
b. Développement de $(x + 5)(x - 2) = x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$. L'égalité est vérifiée.
c. Pour obtenir 0, on résout $(x + 5)(x - 2) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On obtient $x + 5 = 0$ ou $x - 2 = 0$, soit $x = -5$ ou $x = 2$. Les nombres à choisir sont donc -5 et 2.
Approfondissement Première Spécialité
En classe de Première, on peut identifier ici un trinôme du type $ax^2 + bx + c$ avec $a=1, b=3, c=-10$. Le calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49$. Comme $\Delta > 0$, le trinôme possède deux racines réelles distinctes : $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = -5$ et $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = 2$. Cela confirme les résultats trouvés par la factorisation.