Analyse de l'énoncé et enjeux algorithmiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un contexte de fin de collège, mobilise des compétences de logique booléenne et de composition d'opérations essentielles au programme de Première Spécialité, notamment dans le cadre de l'algorithmique. L'élève doit ici appréhender des transformations comme des fonctions agissant sur l'état d'un système (une grille $3 \times 3$).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs concepts doivent être maîtrisés :
- L'idempotence : La remarque souligne que noircir une case déjà noire ne change rien ($A \circ A = A$).
- L'inversion (NOT) : L'instruction E agit comme un opérateur logique 'NON' sur l'ensemble des bits de la grille.
- La commutativité : Il est crucial de vérifier si l'ordre des instructions modifie le résultat. Ici, $A$ et $B$ commutent, mais l'inversion $E$ ne commute pas forcément avec les ajouts de noir.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Question 1 : Suite A B
L'instruction A noircit la case centrale $(1;1)$. L'instruction B noircit les cases $(0;0)$ et $(2;2)$. La combinaison A B produit donc une diagonale de trois cases noires allant du bas à gauche vers le haut à droite.
2. Question 2 : Identification des propositions
Le motif cible présente toutes les cases noires sauf les cases médianes latérales $(0;1)$ et $(2;1)$.
- Proposition 2 (C E) : L'instruction C noircit $(0;1)$ et $(2;1)$. L'application de E (inversion) transforme ces deux cases en blanc et tout le reste en noir. C'est correct.
- Proposition 4 (C A E A) : C noircit les médianes latérales, A la centrale. On a 3 cases noires. E inverse : les 3 deviennent blanches, les 6 autres noires. Enfin, A re-noircit la centrale. On obtient bien le motif (tout noir sauf les deux médianes latérales). C'est correct.
3. Question 3 : Suite d'instructions pour le motif final
Le motif final présente des cases blanches sur la diagonale principale : $(0;0)$, $(1;1)$ et $(2;2)$, et toutes les autres cases sont noires. C'est l'exact opposé du résultat de la question 1. La suite d'instructions est donc A B E (ou B A E).