Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui permet d'évaluer la maîtrise des automatismes fondamentaux. Bien que les thèmes abordés (fractions, probabilités simples, rotation, arithmétique et puissances) soient introduits au collège, leur maîtrise parfaite est indispensable pour réussir en Première Spécialité Mathématiques. En effet, les calculs de probabilités et les manipulations de fractions sont omniprésents dans les chapitres sur les suites, la dérivation ou les probabilités conditionnelles.

Points de vigilance et notions de cours requises

• Calcul fractionnaire : Pour additionner deux fractions, il est impératif de les réduire au même dénominateur. Ici, on utilise la relation $21 = 7 \times 3$.
• Probabilités : La probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité est donnée par le rapport : nombre d'issues favorables / nombre total d'issues.
• Arithmétique : Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13...).
• Puissances : La règle $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ est fondamentale pour simplifier des expressions algébriques.

Guide de résolution et correction

Question 1 : On doit calculer $\frac{4}{7} + \frac{5}{21}$. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 3 : $\frac{4 \times 3}{7 \times 3} + \frac{5}{21} = \frac{12}{21} + \frac{5}{21} = \frac{17}{21}$. La réponse correcte est la Réponse C.

Question 2 : Le nombre total de boules dans l'urne est de $3 + 2 + 4 = 9$. Il y a 4 boules vertes. La probabilité d'obtenir une boule verte est donc de $\frac{4}{9}$. La réponse correcte est la Réponse B.

Question 3 : Une rotation de centre O et d'angle 90° correspond à un quart de tour. Sur la figure B, la flèche subit un pivotement perpendiculaire par rapport au centre O. La réponse correcte est la Réponse B.

Question 4 : On cherche la décomposition en facteurs premiers de 117. $117$ est divisible par 3 (car $1+1+7=9$). $117 = 3 \times 39 = 3 \times 3 \times 13$. Comme 3 et 13 sont des nombres premiers, c'est la décomposition cherchée. Notez que $9 \times 13$ n'est pas une décomposition en facteurs premiers car 9 n'est pas premier. La réponse correcte est la Réponse A.

Question 5 : L'expression $(-2) \times (-2) \times (-2)$ est égale à $(-2)^3$. Par définition des puissances négatives, $\frac{1}{(-2)^3} = (-2)^{-3}$. La réponse correcte est la Réponse A.