Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui aborde deux thématiques fondamentales du programme de mathématiques : les probabilités discrètes et les transformations géométriques du plan. Bien que d'un niveau initial de fin de collège, ces notions constituent le socle nécessaire pour aborder les variables aléatoires et la géométrie vectorielle en classe de Première Spécialité. L'analyse se divise en deux parties : une gestion de dénombrement simple dans une urne et l'application des propriétés des transformations sur des figures complexes (pavages).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :

• En probabilités : Savoir calculer la probabilité d'un événement élémentaire (loi d'équirépartition : nombre de cas favorables / nombre de cas possibles) et utiliser l'événement contraire ($P(\bar{A}) = 1 - P(A)$).
• En géométrie : Identifier les éléments caractéristiques d'une symétrie axiale, d'une rotation (centre et angle) et d'une homothétie. Un point crucial en Première est de se rappeler que dans une homothétie de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $|k|$, mais les aires sont multipliées par $k^2$.

Correction détaillée

Partie A : Probabilités
L'urne contient un total de $7 + 4 + 3 + 2 = 16$ jetons.
1. La probabilité d'obtenir un jeton vert est de $7/16$. La réponse correcte est donc la Réponse C.
2. Il y a 3 jetons bleus. La probabilité de tirer un jeton bleu est $3/16$. L'événement contraire (ne pas tirer un jeton bleu) a donc une probabilité de $1 - 3/16 = 13/16$. La réponse correcte est la Réponse A.

Partie B : Géométrie
3. La droite $(d)$ est l'axe horizontal passant par O. Le motif 20 est situé en haut à gauche (position 10 dans le cercle interne, reportée sur l'externe). Par symétrie axiale d'axe $(d)$, le motif 20 se reflète vers le bas. En suivant les graduations de $36^\circ$, l'image du motif 20 est le motif 17. Réponse A.
4. Le passage du motif 1 au motif 3 correspond à un déplacement de deux secteurs de $36^\circ$ dans le sens horaire. L'angle de rotation est donc $2 \times 36 = 72^\circ$. La réponse correcte est la Réponse B.
5. Le motif 11 est l'image du motif 1 par une homothétie de rapport 2. Le rapport des aires est égal au carré du rapport d'homothétie, soit $2^2 = 4$. L'aire est donc multipliée par 4. La réponse correcte est la Réponse B.