Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Métropole 2023, propose une application concrète de la géométrie et de l'algorithmie à travers la conception technique d'un escalier en bois. L'objectif est double : vérifier la faisabilité géométrique (pente de l'escalier) et automatiser le tracé via un script de programmation par blocs (Scratch). Les notions mobilisées incluent les rapports de proportionnalité, la trigonométrie dans le triangle rectangle et la structure itérative en informatique.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de bien identifier les triangles rectangles formés par la structure de l'escalier. Le point A représente le départ au sol, B le point à l'aplomb du haut de l'escalier, et C le point final en hauteur. Le triangle ABC est donc rectangle en B. En trigonométrie, il ne faut pas confondre le côté opposé et le côté adjacent pour l'utilisation de la tangente. Enfin, en algorithmie, la compréhension du sens de rotation du lutin (gauche vs droite) et l'ordre des instructions dans la boucle 'répéter' sont cruciaux.

Guide de résolution détaillé

1. Étude des dimensions de l'escalier

• Question 1.a : La hauteur totale est de 272 cm et chaque marche mesure 17 cm. Le nombre de marches est obtenu par le quotient : 272 / 17 = 16. Il faut donc 16 marches.
• Question 1.b : La longueur AB correspond à la somme des profondeurs des marches. Chaque marche ayant une profondeur de 27 cm, on calcule : 16 × 27 = 432 cm.

2. Analyse de la pente (Trigonométrie)

• Question 2.a : Dans le triangle ABC rectangle en B, nous connaissons le côté opposé BC (272 cm) et le côté adjacent AB (432 cm). On utilise la tangente : tan(BAC) = BC / AB = 272 / 432. À l'aide de la calculatrice (touche arctan ou tan⁻¹), on trouve l'angle BAC ≈ 32°.
• Question 2.b : L'énoncé précise qu'une montée agréable se situe entre 25° et 40°. Puisque 25° < 32° < 40°, l'escalier permet effectivement une montée agréable.

3. Programmation Scratch

Pour dessiner l'escalier, le lutin doit monter verticalement puis avancer horizontalement à chaque répétition :

• Ligne 5 : répéter 16 fois (correspond au nombre de marches).
• Ligne 6 : tourner de 90 degrés (vers la gauche pour monter).
• Ligne 7 : avancer de 17 pas (hauteur de la marche).
• Ligne 9 : avancer de 27 pas (profondeur de la marche).