Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait de la session 2025, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane. Bien qu'il repose sur des bases de collège (Thalès, Pythagore), son application dans le programme de Première Spécialité permet de consolider la rigueur rédactionnelle et d'introduire des outils plus avancés comme le produit scalaire pour vérifier l'orthogonalité ou la géométrie repérée.
Points de vigilance et notions requises
- Théorème de Thalès : L'identification du sommet commun (ici le point C) et des droites parallèles (BD) et (EF) est cruciale.
- Réciproque du théorème de Pythagore : Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, il faut comparer le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres côtés.
- Trigonométrie : Utilisation des rapports (sinus, cosinus, tangente) dans un triangle rectangle et maîtrise de la calculatrice pour l'arrondi au degré.
- Triangles semblables : Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux.
Guide de résolution détaillé
1. Calculs de longueurs :
a) Les points B, E et C étant alignés, on a simplement $CE = BC - BE = 7,5 - 3 = 4,5$ cm.
b) Dans le triangle CBD, les droites (BD) et (EF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : $\frac{CE}{CB} = \frac{CF}{CD} = \frac{EF}{BD}$. En utilisant $\frac{4,5}{7,5} = \frac{EF}{6}$, on obtient $EF = \frac{4,5 \times 6}{7,5} = 3,6$ cm.
2. Nature du triangle CEF :
On connaît les trois côtés : $CE = 4,5$, $EF = 3,6$ et $CF = 2,7$.
Calculons : $CE^2 = 20,25$.
$EF^2 + CF^2 = 3,6^2 + 2,7^2 = 12,96 + 7,29 = 20,25$.
Comme $CE^2 = EF^2 + CF^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F.
3. Angles et similitudes :
a) Dans le triangle ABC rectangle en B : $\tan(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC} = \frac{10}{7,5} = \frac{4}{3}$. À l'aide de la touche $Arctan$, on trouve $\widehat{BCA} \approx 53^\circ$.
b) Les triangles ABC et CEF possèdent tous deux un angle droit et partagent l'angle $\widehat{C}$. Ayant deux angles égaux, ils sont donc semblables.