Analyse de l'exercice

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Il balaie des compétences fondamentales en algèbre et en géométrie qui doivent être parfaitement automatisées pour aborder sereinement l'étude du second degré et de la dérivation.

Points de vigilance et notions clés

• Équations-produits : Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Attention à ne pas confondre les signes lors de la résolution.
• Inéquations : Le point critique est le changement de sens de l'inégalité lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif.
• Identités remarquables : La maîtrise de $(a-b)^2$ et $a^2-b^2$ est indispensable pour la factorisation et le développement de polynômes du second degré.
• Géométrie et volumes : Rappel sur les rapports d'agrandissement/réduction : si les longueurs sont multipliées par $k$, les volumes le sont par $k^3$.

Correction Détaillée

Question 1 : $(x+7)(2x-7)=0$ équivaut à $x+7=0$ ou $2x-7=0$, soit $x=-7$ ou $x=3,5$. Réponse A.

Question 2 : $-2(x+7) \leq -16$. En divisant par $-2$ (on change le sens) : $x+7 \geq 8$, d'où $x \geq 1$. Réponse B.

Question 3 : $(7x-5)^2 = (7x)^2 - 2 imes 7x imes 5 + 5^2 = 49x^2 - 70x + 25$. Réponse B.

Question 4 : $9 - 64x^2 = 3^2 - (8x)^2 = (3-8x)(3+8x)$. Réponse C.

Question 5 : Le rapport de hauteur est $1/2$. Le volume du liquide est donc réduit par un facteur $(1/2)^3 = 1/8$. $1/8$ est inférieur à la moitié ($1/2$). Réponse B.

Question 6 : La section d'un cube par un plan parallèle à une arête est toujours un rectangle. Réponse C.