Analyse de l'énoncé
Cet exercice propose une mise en situation concrète qui mobilise des compétences de géométrie dans l'espace et de logique algorithmique. L'enjeu principal réside dans la gestion des unités (cm vs mm) et la compréhension de la conservation du volume lors du remodelage de la pâte à modeler. Bien que d'un niveau initial de fin de collège, il constitue en Première Spécialité un excellent test de rigueur sur la manipulation des grandeurs et la résolution de problèmes en plusieurs étapes.
Points de vigilance (Notions requises)
- Conversions d'unités : Les dimensions des blocs sont données en cm ($6 \times 2 \times 6$), tandis que les perles sont en mm. Il est impératif de tout convertir en mm pour éviter les erreurs de facteur 1000 ($1 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ mm}^3$).
- Rayon et Diamètre : Les formules de volume utilisent le rayon $r$. Puisque le diamètre est de $8 \text{ mm}$, on utilisera $r = 4 \text{ mm}$.
- Contraintes de production : On ne peut pas fabriquer une fraction de perle ou de bracelet. Il faut utiliser la partie entière des résultats obtenus.
Guide de résolution détaillé
1. Volume des blocs de pâte :
Chaque bloc mesure $60 \text{ mm} \times 20 \text{ mm} \times 60 \text{ mm}$.
$V_{bloc} = 60 \times 20 \times 60 = 72\,000 \text{ mm}^3$.
2. Analyse du bloc bleu (perles rondes) :
Le volume d'une perle sphérique est $V_{ronde} = \frac{4}{3} \times \pi \times 4^3 = \frac{256}{3}\pi \approx 268,08 \text{ mm}^3$.
Nombre de perles bleues possibles : $72\,000 / 268,08 \approx 268,57$, soit $268$ perles.
Bracelets possibles avec le stock bleu : $268 / 8 = 33,5$, soit $33$ bracelets.
3. Analyse du bloc blanc (perles longues) :
Le volume d'une perle cylindrique est $V_{longue} = \pi \times 4^2 \times 16 = 256\pi \approx 804,25 \text{ mm}^3$.
Nombre de perles blanches possibles : $72\,000 / 804,25 \approx 89,52$, soit $89$ perles.
Bracelets possibles avec le stock blanc : $89 / 4 = 22,25$, soit $22$ bracelets.
Conclusion : La production est limitée par le stock de perles blanches. Flora peut donc réaliser au maximum 22 bracelets.