Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, sollicite des compétences fondamentales en arithmétique qui sont essentielles en classe de Première Spécialité, notamment pour aborder l'algorithme d'Euclide et la structure des nombres entiers. L'énoncé se divise en deux parties : une approche purement calculatoire (recherche du PGCD) suivie d'une application contextuelle liée à la gestion de stocks dans une ferme aquacole. La difficulté principale réside dans l'extraction correcte des données numériques avant l'application de l'outil mathématique.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :
- L'algorithme d'Euclide : Il s'agit d'une suite de divisions euclidiennes où le PGCD est le dernier reste non nul. C'est la méthode la plus efficace pour les grands nombres.
- L'algorithme des soustractions successives : Une alternative, bien que plus lente, basée sur la propriété PGCD(a, b) = PGCD(b, a-b).
- Interprétation de l'énoncé : Comprendre que 'répartir la totalité en lots de même composition' signifie chercher un diviseur commun, et que le 'plus grand nombre de lots' désigne explicitement le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul du PGCD(405, 315) par l'algorithme d'Euclide :
Nous effectuons les divisions successives :
405 = 315 × 1 + 90
315 = 90 × 3 + 45
90 = 45 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 45. Donc, PGCD(405, 315) = 45.
2. Application au problème des bénitiers :
Calculons d'abord le nombre total de bénitiers de chaque catégorie :
- Bénitiers de 12,5 cm : 9 bacs × 35 bénitiers/bac = 315 bénitiers.
- Bénitiers de 17,5 cm : 15 bacs × 27 bénitiers/bac = 405 bénitiers.
a) Plus grand nombre de lots :
L'exploitant veut répartir tous les bénitiers dans un nombre maximal de lots identiques. Ce nombre doit diviser 315 et 405. Le plus grand nombre de lots correspond donc au PGCD de 315 et 405. D'après la question 1, le plus grand nombre de lots est 45.
b) Composition de chaque lot :
Pour trouver la composition, on divise le total de chaque catégorie par le nombre de lots :
- Nombre de bénitiers de 12,5 cm : 315 / 45 = 7.
- Nombre de bénitiers de 17,5 cm : 405 / 45 = 9.
Chaque lot contiendra donc 7 bénitiers de 12,5 cm et 9 bénitiers de 17,5 cm.