Analyse de l'exercice : De l'arithmétique aux suites numériques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, mobilise des compétences fondamentales en calcul de pourcentages et en modélisation de prix. Pour un élève de Première Spécialité Mathématiques, cet énoncé constitue une excellente introduction à la notion de coefficient multiplicateur, concept central du chapitre sur les suites géométriques. L'analyse repose sur la compréhension du passage d'une valeur brute à une valeur nette après réduction.
Points de vigilance et prérequis
Pour réussir ce type de problème, plusieurs notions doivent être maîtrisées :
- Le coefficient multiplicateur : Pour une réduction de $t \%$, le coefficient multiplicateur est donné par $CM = 1 - \frac{t}{100}$.
- Le calcul inverse : Retrouver le taux d'évolution à partir des valeurs initiale et finale.
- La moyenne arithmétique : Savoir diviser un montant total par l'effectif pour obtenir un prix de revient unitaire.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul du prix de revient par enfant (Famille de 3) :
Le montant total payé par la famille est de $310,50$ € pour 3 enfants. Le prix de revient par enfant se calcule par une simple division :
$\text{Prix de revient} = \frac{310,50}{3} = 103,50$ € par enfant.
2. Complétion de la Facture 1 (2 enfants) :
- Prix total avant réduction : $115 \times 2 = 230$ €
- Montant de la réduction (5%) : $\frac{5}{100} \times 230 = 0,05 \times 230 = 11,50$ €
- Prix à payer : $230 - 11,50 = 218,50$ €
3. Complétion de la Facture 2 (3 enfants) :
- Prix total avant réduction : $115 \times 3 = 345$ €
- Montant de la réduction : On connaît le prix final ($310,50$ €). Le montant de la remise est donc $345 - 310,50 = 34,50$ €
- Calcul du pourcentage : On cherche $x$ tel que $\frac{x}{100} \times 345 = 34,50$.
$x = \frac{34,50 \times 100}{345} = 10$. La réduction est donc de $10\%$.
Lien avec le programme de Première Spécialité
En Première, on peut modéliser la facture $F_n$ pour $n$ enfants par une suite. Si la réduction était constante par enfant supplémentaire, nous serions face à une suite arithmético-géométrique. Savoir manipuler ces pourcentages permet de déterminer rapidement les raisons des suites géométriques dans les problèmes de croissance ou de dépréciation financière.