Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, permet de mobiliser des compétences fondamentales en géométrie plane, essentielles pour aborder le chapitre sur le produit scalaire en classe de Première Spécialité. Il s'agit d'étudier des configurations de triangles dans un plan et de démontrer l'orthogonalité pour calculer des longueurs.
Points de vigilance et notions requises
- Réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
- Orthogonalité : En Première, cela peut être relié à la nullité d'un produit scalaire, mais ici, la configuration géométrique classique prime.
- Propriétés des milieux : Comprendre que si C est le milieu de [BD], alors la distance BD est le double de BC.
Correction détaillée
1. Nature du triangle ABC : Dans le triangle ABC, nous avons les longueurs AB = 4, BC = 3 et AC = 5. Calculons les carrés des longueurs : AC² = 5² = 25 et AB² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25. On constate que AC² = AB² + BC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. Nature du triangle BDE : Les points A, B et E sont alignés d'une part, et les points D, C et B sont alignés d'autre part (car C est le milieu de [BD]). Puisque le triangle ABC est rectangle en B, l'angle (AB, BC) est un angle droit. Par conséquent, l'angle (BE, BD) est également un angle droit (angles opposés par le sommet ou simplement supplément d'un angle droit sur des droites perpendiculaires). Le triangle BDE est donc rectangle en B.
3. Calcul de ED : C est le milieu de [BD], donc BD = 2 * BC = 2 * 3 = 6. Dans le triangle BDE rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : ED² = BD² + BE². On a ED² = 6² + 7² = 36 + 49 = 85. Ainsi, ED = √85 ≈ 9,2 (arrondi au dixième).