Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) composé de trois questions indépendantes. Bien que ce sujet soit issu d'un niveau antérieur, les notions abordées constituent des automatismes fondamentaux pour un élève de Première Spécialité. Il traite des propriétés des puissances, du calcul d'évolution (pourcentages) et des probabilités élémentaires dans un univers équiprobable.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisées :

• Les Puissances : La maîtrise de la règle $a^n \times a^m = a^{n+m}$ est cruciale. L'erreur classique consiste à multiplier les bases ou à multiplier les exposants entre eux.
• Évolutions et Pourcentages : Il est impératif de comprendre la notion de coefficient multiplicateur. Une augmentation de $t\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$. Pour retrouver la valeur initiale, on effectue une division par ce même coefficient (évolution réciproque).
• Probabilités : La définition de la probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité est le rapport du nombre d'issues favorables sur le nombre d'issues totales.

Correction détaillée

Question 1 : Calcul de puissances
On applique la propriété $a^n \times a^p = a^{n+p}$. Ici, $7^6 \times 7^6 = 7^{6+6} = 7^{12}$. La réponse exacte est donc $7^{12}$.

Question 2 : Pourcentage et valeur initiale
Soit $x$ la superficie initiale. Une augmentation de 40% se traduit par un coefficient multiplicateur de $1 + 0,40 = 1,4$.
On a l'équation : $x \times 1,4 = 210$.
En isolant $x$, on obtient : $x = \frac{210}{1,4} = 150$. La superficie initiale était de 150 m².

Question 3 : Probabilités
L'univers est $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, soit 6 issues possibles. Les diviseurs de 6 présents sur le dé sont : 1, 2, 3 et 6. Il y a donc 4 issues favorables.
La probabilité est $P = \frac{4}{6}$. En simplifiant la fraction par 2, on obtient $\frac{2}{3}$.