Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2016, constitue une base essentielle pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de la modélisation de processus algorithmiques sous forme de fonctions numériques. En mathématiques de spécialité, comprendre qu'un programme de calcul n'est rien d'autre qu'une application (souvent affine) est crucial pour aborder ensuite les polynômes de degré supérieur. Nous sommes ici en présence de deux fonctions affines, c'est-à-dire des polynômes de degré 1 de la forme $P(x) = ax + b$.
Points de vigilance et notions de cours requises
- Traduction algébrique : La principale difficulté réside dans la transcription du Programme B. L'instruction 'Multiplier par 3' s'applique à l'ensemble du résultat précédent, ce qui impose l'usage de parenthèses : $3(x - 7)$.
- Développement et Réduction : Pour comparer les deux programmes, il est indispensable de savoir développer $3(x - 7)$ en $3x - 21$ afin de manipuler une expression simplifiée.
- Résolution d'équations : Le passage des termes d'un côté à l'autre de l'égalité ($f(x) = g(x)$) nécessite une rigueur absolue sur les changements de signes, une erreur classique en début de Première Spécialité.
Guide de résolution détaillé
1. Vérification expérimentale : Pour le programme A avec le nombre 2, on applique successivement les opérations : $2 \times (-2) = -4$, puis $-4 + 13 = 9$. Le résultat est confirmé. Cette étape permet de valider la compréhension de l'algorithme.
2. Résolution par opération inverse (Rétro-calcul) : Pour le programme B, on cherche le nombre de départ qui donne 9. On peut 'remonter' le programme : au lieu de multiplier par 3, on divise par 3 ($9 / 3 = 3$), puis au lieu de soustraire 7, on ajoute 7 ($3 + 7 = 10$). Algébriquement, cela revient à résoudre $3(x - 7) = 9$.
3. Recherche du point d'équilibre : On cherche $x$ tel que Programme A($x$) = Programme B($x$). Soit l'équation : $-2x + 13 = 3(x - 7)$. En développant le membre de droite, on obtient $-2x + 13 = 3x - 21$. En regroupant les inconnues à droite et les constantes à gauche : $13 + 21 = 3x + 2x$, d'où $34 = 5x$. La solution est $x = 34/5 = 6,8$. Ce type de problème préfigure l'étude de l'intersection de deux droites dans le plan repéré.