Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base de révision essentielle pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. Il permet de valider la maîtrise des configurations planes classiques avant d'aborder des notions plus abstraites comme le produit scalaire ou la géométrie repérée. L'énoncé demande de vérifier des propriétés d'orthogonalité et de parallélisme dans un triangle, tout en manipulant des mesures de longueurs précises.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour prouver qu'un triangle est rectangle. En Première, cela préfigure la condition d'orthogonalité $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Théorème de Thalès : Indispensable pour calculer des longueurs dans des triangles emboîtés. Il faut d'abord justifier le parallélisme des droites concernées.
• Propriétés des perpendiculaires : Savoir que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles est une étape clé du raisonnement.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Démontrer que IKJ est un triangle rectangle :
Dans le triangle IKJ, nous connaissons les trois côtés : $IK = 3,2$, $KJ = 2,4$ et $IJ = 4$.
Calculons séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés :
$IJ^2 = 4^2 = 16$.
$IK^2 + KJ^2 = 3,2^2 + 2,4^2 = 10,24 + 5,76 = 16$.
On constate que $IK^2 + KJ^2 = IJ^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $IKJ$ est rectangle en $K$.

2. Montrer que LM est égal à 3,75 m :
L'énoncé indique un angle droit au point $L$ sur la figure, ce qui signifie que la droite $(LM)$ est perpendiculaire à la droite $(IL)$. De plus, nous venons de prouver que le triangle $IKJ$ est rectangle en $K$, donc $(KJ)$ est également perpendiculaire à $(IL)$.
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc $(KJ) \parallel (LM)$.
En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle $ILM$ où $K \in [IL]$ et $J \in [IM]$, on a :
$\frac{IK}{IL} = rac{KJ}{LM}$.
Calculons $IL = IK + KL = 3,2 + 1,8 = 5$ m.
On obtient $\frac{3,2}{5} = rac{2,4}{LM}$, soit $LM = \frac{5 \times 2,4}{3,2} = \mathbf{3,75}$ m.

3. Calculer la longueur KM au centimètre près :
Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$ (car $L$ appartient au segment $[IL]$ et $(LM) \perp (IL)$).
D'après le théorème de Pythagore : $KM^2 = KL^2 + LM^2$.
$KM^2 = 1,8^2 + 3,75^2 = 3,24 + 14,0625 = 17,3025$.
$KM = \sqrt{17,3025} \approx 4,1596$.
La longueur $KM$ est donc d'environ 4,16 m au centimètre près.

Transition vers la Première Spécialité

En spécialité mathématiques, ce type d'exercice peut être résolu en utilisant le produit scalaire. Par exemple, pour la question 1, on pourrait définir des vecteurs dans un repère et vérifier si $\vec{KI} \cdot \vec{KJ} = 0$. Cette vision vectorielle est fondamentale pour la réussite au Baccalauréat.