Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège (DNB), constitue une base de révision indispensable pour tout élève entrant en classe de Première Spécialité Mathématiques. Il aborde trois piliers fondamentaux de l'algèbre : l'application des identités remarquables, la résolution d'équations produit nul et la manipulation des radicaux (racines carrées). Ces compétences sont le socle nécessaire pour maîtriser le chapitre sur le second degré, notamment pour le calcul du discriminant et la manipulation des formes canoniques.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir ce type de questionnaire à choix multiples (QCM), plusieurs points de vigilance doivent être observés :

• Identités remarquables : L'erreur classique sur $(a-b)^2$ consiste à oublier le double produit ($2ab$) ou à se tromper sur le signe du dernier terme. Rappelez-vous que $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• Équation produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Il faut être vigilant lors de l'isolation de l'inconnue $x$ dans les expressions du type $ax+b=0$.
• Calcul avec les racines : Ne confondez pas l'addition de radicaux identiques ($\sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$) avec les propriétés multiplicatives ($\sqrt{a} imes \sqrt{b} = \sqrt{ab}$).

Correction détaillée et Guide de résolution

Voici la résolution pas à pas de chaque question :

Question 1 : Expansion d'identité remarquable

Nous devons développer $(2x-3)^2$. On identifie la forme $(a-b)^2$ avec $a = 2x$ et $b = 3$.
$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 imes (2x) imes 3 + 3^2$
$(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$.
La réponse correcte est la Réponse B.

Question 2 : Résolution d'une équation produit

L'équation est $(x + 1)(2x - 5) = 0$.
Soit $x + 1 = 0$, ce qui donne $x = -1$.
Soit $2x - 5 = 0$, ce qui donne $2x = 5$, donc $x = 5/2 = 2,5$.
Les solutions sont donc $-1$ et $2,5$. La réponse correcte est la Réponse C.

Question 3 : Simplification de racines carrées

On nous demande de simplifier $\sqrt{a} + \sqrt{a}$ pour $a > 0$.
Il s'agit d'une simple addition de termes semblables : $1 imes \sqrt{a} + 1 imes \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$.
Attention à ne pas confondre avec $\sqrt{a+a} = \sqrt{2a}$ ou $\sqrt{a} imes \sqrt{a} = a$. La réponse correcte est la Réponse B.

Importance pour la Première Spécialité

La maîtrise de ces automatismes permet d'aborder sereinement l'étude des fonctions polynômes du second degré. Par exemple, la question 2 correspond exactement à la recherche des racines d'une fonction déjà factorisée, une étape clé pour étudier le signe d'une fonction ou la position relative de courbes.