Analyse de l'énoncé : La géométrie du Viaduc de Millau
Cet exercice, issu du Brevet 2016 (Asie), est un excellent cas pratique mobilisant les trois piliers de la géométrie au collège : le Théorème de Pythagore, la Trigonométrie et la Réciproque du Théorème de Thalès.
La clé de l'exercice est de reconnaître que le pylône [AB] est vertical et que la chaussée [AD] est horizontale, créant ainsi des triangles rectangles (notamment ACD et AFE) en A. Il est essentiel de bien identifier les points C et E sur le pylône et les points F et D sur la chaussée.
Points clés et Méthodologie
- Question 1 (Longueur CD) : Utilisation du Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ACD.
- Question 2 (Angle $\widehat{CDA}$) : Utilisation de la Trigonométrie (tan, sin ou cos), basée sur les longueurs connues dans ACD.
- Question 3 (Parallélisme EF et CD) : Application de la Réciproque du Théorème de Thalès en vérifiant l'égalité des rapports $AE/AC$ et $AF/AD$.
Correction Détaillée de l'Exercice
1. Calcul de la longueur du hauban [CD]
Le triangle ACD est rectangle en A. D'après le Théorème de Pythagore : $CD^2 = AC^2 + AD^2$.
En remplaçant les valeurs : $CD^2 = 76^2 + 154^2 = 5776 + 23716 = 29492$.
$CD = \sqrt{29492} \approx 171,73$ m.
Arrondi au mètre près, la longueur du hauban [CD] est de 172 m.
2. Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CDA}}$
Dans le triangle rectangle ACD, nous utilisons la tangente car nous connaissons les côtés opposé (AC) et adjacent (AD) à l'angle $\widehat{\text{CDA}}$.
$\tan(\widehat{\text{CDA}}) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{AC}{AD} = \frac{76}{154}$.
$\widehat{\text{CDA}} = \arctan\left(\frac{76}{154}\right) \approx 26,27^\circ$.
Arrondi au degré près, l'angle $\widehat{\text{CDA}}$ mesure $26^\circ$.
3. Les haubans [CD] et [EF] sont-ils parallèles ?
Nous vérifions si la Réciproque de Thalès est applicable. Calculons d'abord les longueurs nécessaires :
- $AF = AD - FD = 154 - 12 = 142$ m.
- $AE = AC - EC = 76 - 5 = 71$ m.
Vérifions l'égalité des rapports :
Rapport 1 : $\frac{AE}{AC} = \frac{71}{76}$.
Rapport 2 : $\frac{AF}{AD} = \frac{142}{154} = \frac{71 \times 2}{77 \times 2} = \frac{71}{77}$.
Puisque $\frac{71}{76} \neq \frac{71}{77}$, les rapports ne sont pas égaux. Par conséquent, les droites (CD) et (EF) ne sont pas parallèles.