Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du Brevet 2022 en Polynésie, est un classique de l'épreuve de mathématiques en classe de 3ème. Il s'appuie sur la mise en situation de deux tarifs pour une salle de sport, illustrés par des représentations graphiques. L'objectif est de vérifier la compréhension des concepts fondamentaux de la proportionnalité, des fonctions affines et linéaires, et de la lecture graphique (image et antécédent).

Nous distinguons deux fonctions : la droite $\left(d_1 ight)$ représente le tarif « liberté » (fonction $f$) et la droite $\left(d_2 ight)$ représente le tarif « abonné » (fonction $g$). Graphiquement, $\left(d_1 ight)$ part de l'origine (0,0), indiquant l'absence de coût fixe, tandis que $\left(d_2 ight)$ a une ordonnée à l'origine positive (7,5€), représentant le coût de l'abonnement initial.

Points clés méthodologiques

• Question 1 : Reconnaître la Proportionnalité. Pour qu'une situation soit proportionnelle, sa représentation graphique doit être une droite passant par l'origine du repère (0,0). Il faut donc observer uniquement le comportement du tarif « liberté », représenté par $\left(d_1 ight)$, pour répondre.
• Question 2 : Lecture Graphique (Image et Antécédent). La lecture graphique est cruciale. L'image de $x$ par $f$ se lit sur l'axe des ordonnées (prix payé), tandis que l'antécédent de $y$ par $g$ se lit sur l'axe des abscisses (nombre d'heures). Il faut être rigoureux dans l'utilisation des échelles et des droites tracées.
• Question 3 : Comparaison des Tarifs. L'avantage d'un tarif par rapport à l'autre est déterminé par le point d'intersection des deux droites. Pour un nombre d'heures donné, le tarif le plus avantageux est celui dont la droite est la plus basse sur le graphique (prix minimum).
• Question 4 : Extrapolation et Détermination de la Fonction. Lorsque la valeur demandée (ici 15 heures) sort du cadre graphique, il est indispensable de déterminer l'expression algébrique de la fonction concernée. Pour le tarif « liberté » (fonction $f$), il s'agit d'une fonction linéaire de type $f(x)=ax$. En utilisant un point de la droite $\left(d_1 ight)$ comme $(5; 25)$, nous pouvons confirmer que $f(x)=5x$. Le calcul de $f(15)$ devient alors simple.

Maîtriser cet exercice assure la validation des compétences liées aux représentations fonctionnelles et à leur interprétation concrète, compétences essentielles pour le Brevet.