Analyse de l'énoncé : Le QCM Multifacette du Brevet 2022

Cet exercice 1 du Brevet 2022 (Série Générale - Métropole) est un QCM complet qui balaye plusieurs notions fondamentales du programme de 3ème : les puissances, l'arithmétique (fractions irréductibles), le calcul littéral (développement), la résolution d'équations (produit nul) et les probabilités. Le format QCM, sans justification demandée, met l'accent sur la rapidité et la justesse de l'application des règles.

Points clés de l'exercice

• Maîtriser les Puissances (Question 1) : Pour simplifier $\dfrac{5^7 \times 5^3}{5^2}$, il faut absolument connaître les règles : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (additionner les exposants lors d'une multiplication) et $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (soustraire les exposants lors d'une division). La réponse correcte est $5^{7+3-2} = 5^8$.
• Simplification et Arithmétique (Question 2) : Trouver la fraction irréductible $\dfrac{630}{882}$ exige de simplifier la fraction au maximum. Le moyen le plus sûr est de trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des deux nombres. Si le PGCD n'est pas utilisé, une simplification successive par des diviseurs communs (2, 3, 5, 7, etc.) conduit finalement à la solution $\dfrac{5}{7}$.
• Calcul Littéral et Développement (Question 3) : Le développement de $A = (x - 2)(3x + 7)$ est un classique de la double distributivité. Attention aux signes ! $x(3x) + x(7) - 2(3x) - 2(7) = 3x^2 + 7x - 6x - 14$. Il est crucial de bien regrouper les termes en $x$ : $7x - 6x = x$. La réponse est $3x^2 + x - 14$.
• Résolution d'Équations (Question 4) : L'équation $(2x + 1)(- x + 3) = 0$ relève de la propriété du produit nul. Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Il faut donc résoudre $2x + 1 = 0$ et $-x + 3 = 0$, donnant les solutions $x = -1/2$ et $x = 3$.
• Probabilités (Question 5) : Il y a 9 boules au total. La probabilité de NE PAS tirer de boule noire est la probabilité de tirer une boule blanche OU rouge. Il y a $4 + 2 = 6$ boules non noires. La probabilité est donc $\dfrac{6}{9}$.

Cet exercice démontre l'importance de la révision régulière des formules de base en vue du Brevet.