Analyse de l'énoncé : Algorithmique et Probabilités au Brevet

Cet exercice du DNB 2022 (Amérique du Nord) est un excellent exemple de la manière dont les notions d'Algorithmique-programmation et de Probabilités sont évaluées conjointement. Il demande à la fois de comprendre le fonctionnement d'un script Scratch (mouvements du lutin et géométrie) et de calculer des probabilités simples et composées liées au hasard.

Interprétation du Programme Scratch et Géométrie

La première étape consiste à décortiquer le programme. Le lutin répète trois fois le dessin d'un motif aléatoire (croix ou rectangle), en avançant de 100 pas entre chaque dessin. Le bloc « rectangle » dessine un rectangle de 60 pas par 80 pas, revenant à sa position de départ. La distance horizontale parcourue par le lutin pendant le dessin du motif est de 60 pas.

• Question 1 (Motif Rectangle) : Le bloc « rectangle » dessine un rectangle de 60 pas sur 80 pas. Avec une échelle de 1 cm pour 20 pas, le dessin correspond à un rectangle de 3 cm sur 4 cm.
• Question 2 (Distance) : Le lutin avance de 100 pas entre le début de chaque motif. Puisque le rectangle a une largeur horizontale de 60 pas, la distance $d$ (l'espace vide entre la fin du premier motif et le début du suivant) est donnée par : $d = \text{Avancement total} - \text{Largeur du motif} = 100 - 60 = 40$ pas.

Calcul des Probabilités Équiprobables

L'instruction initiale (nombre aléatoire entre 1 et 2) garantit l'équiprobabilité : $P(\text{Croix}) = P(\text{Rectangle}) = 1/2$.

• Question 3 (Probabilité Simple) : La probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix est de $1/2$.
• Question 4 (Univers des Possibles) : Il y a deux choix possibles pour chacun des trois motifs. Le nombre total d'affichages différents est $2 \times 2 \times 2 = 8$ (ou $2^3 = 8$).
• Question 5 (Probabilité de Gagner) : Le joueur gagne s'il obtient trois motifs identiques : (C, C, C) ou (R, R, R). Il y a donc 2 issues gagnantes sur 8 issues totales. La probabilité de gagner est $P(\text{Gain}) = 2/8 = 1/4$.

Probabilités et Modification du Biais

La dernière question demande de modifier le programme pour que la probabilité d'obtenir un rectangle soit deux fois supérieure à celle d'obtenir une croix ($P(R) = 2 P(C)$).

Question 6 (Modification) : Sachant que $P(C) + P(R) = 1$, on a $P(C) + 2P(C) = 1$, soit $3P(C) = 1$. Donc $P(C) = 1/3$ et $P(R) = 2/3$. Pour cela, nous avons besoin de trois issues équiprobables (1 pour la Croix, 2 pour le Rectangle). L'instruction modifiée est :