Analyse de l'énoncé : Modélisation d'un parcours cycliste
Cet exercice propose une étude cinématique simplifiée à travers le prisme des fonctions. Bien que les données soient discrètes (relevés toutes les 30 minutes), l'objectif est d'interpréter l'évolution de la distance parcourue par rapport au temps, une compétence clé de la Géométrie repérée et de l'analyse en Première Spécialité.
Points de vigilance et notions requises
- Vitesse moyenne : Elle correspond au coefficient directeur du segment reliant deux points dans un repère (v = d/t).
- Interpolation linéaire : L'exercice suppose une vitesse constante entre deux relevés, ce qui revient à modéliser la fonction par des segments de droite (fonction affine par morceaux).
- Notion de linéarité : Pour qu'une fonction soit linéaire, la distance doit être proportionnelle au temps ($f(x) = ax$), ce qui implique graphiquement une droite passant par l'origine.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Lecture de données : À l'aide du tableau, nous repérons directement la colonne correspondant au temps 2,5 h. La distance associée est de 80 km.
2. Calcul de distance sur un intervalle : La troisième heure se déroule entre $t = 2$ h et $t = 3$ h.
La distance parcourue est $d(3) - d(2) = 100 - 70 = 30$ km. Le cycliste a donc bien parcouru 30 km durant cette heure.
3. Comparaison des vitesses :
- Vitesse lors de la 3ème heure : 30 km/h (calculée ci-dessus).
- Vitesse lors de la 4ème heure (entre $t=3$ et $t=4$) : $d(4) - d(3) = 135 - 100 = 35$ km.
Comme $35 > 30$, le cycliste a été plus rapide lors de la
quatrième heure de course.
4. Représentation graphique : Il s'agit de placer les couples $(t ; d)$ dans le repère fourni. La liaison par des segments de droite traduit l'hypothèse d'une vitesse constante entre chaque relevé (interpolation).
5. Lecture graphique et interpolation :
Pour 75 km, on regarde l'ordonnée $y = 75$. Le point se situe au milieu du segment reliant $(2 ; 70)$ et $(2,5 ; 80)$. Par lecture, on trouve $t = 2,25$ h, soit 2 h 15 min.
6. Valeur intermédiaire : En supposant la vitesse constante entre 0,5 h et 1,5 h, le point à $t = 1$ h est le milieu du segment. $d = (15 + 55) / 2 = 35$ km.
7. Étude de la linéarité : La fonction $f$ n'est pas linéaire. Graphiquement, les points ne sont pas alignés avec l'origine. Numériquement, le rapport $d/t$ n'est pas constant : $15 / 0,5 = 30$ alors que $55 / 1,5 \approx 36,7$. La vitesse varie, donc $f$ n'est pas une fonction linéaire.