Analyse de l'énoncé : La modélisation au service du réel
Cet exercice, bien qu'ancré dans un contexte concret de vie quotidienne, sollicite des compétences fondamentales du programme de mathématiques. L'objectif est de traduire une situation physique (masse d'un contenant et de son contenu) en un modèle mathématique abstrait, ici une fonction affine de type $f(x) = ax + b$. Cette démarche est essentielle en Première Spécialité pour appréhender les polynômes du premier degré et la géométrie analytique. Le sujet évalue la capacité de l'élève à passer d'un registre à l'autre : numérique, fonctionnel, graphique et enfin géométrique.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs points clés doivent être maîtrisés :
- La proportionnalité et les fonctions affines : Identifier le coefficient directeur (1,5 g/cm³) et l'ordonnée à l'origine (la masse à vide de 200 g).
- La gestion des unités : S'assurer de la cohérence entre les cm³ et les grammes tout au long des calculs.
- La lecture graphique : Respecter scrupuleusement l'échelle imposée (1 cm pour 200 unités) pour éviter toute erreur d'interprétation lors de la recherche de l'antécédent.
- Le volume du pavé droit : Connaître la formule $V = L \times l \times h$ pour la dernière question argumentative.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la masse totale : Pour 600 cm³ de lessive, la masse de la lessive est de $600 \times 1,5 = 900$ g. En ajoutant la masse du paquet vide (200 g), on obtient $900 + 200 = 1100$ g.
2. Étude de la fonction :
a) $f(x)$ représente la masse totale du paquet (en grammes) en fonction du volume de lessive $x$ (en cm³).
b) La représentation graphique est une droite passant par le point (0 ; 200) et de coefficient directeur 1,5. Sur l'axe des ordonnées, le point de départ est à 1 cm de l'origine.
3. Résolution et vérification :
a) Graphiquement, pour une masse de 2300 g (ordonnée $y = 2300$), on repère le point sur la droite et on lit son abscisse. On doit trouver $x = 1400$.
b) Par le calcul : $1,5x + 200 = 2300 \iff 1,5x = 2100 \iff x = 2100 / 1,5 = 1400$ cm³.
c) Volume du pavé : $V = 12 \times 8 \times 15 = 1440$ cm³. Puisque $1440 > 1400$, le paquet peut effectivement contenir le volume de lessive nécessaire. L'argumentation repose sur la comparaison des volumes : la capacité maximale du contenant est supérieure au volume calculé précédemment.