Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet zéro pour le DNB 2026 mais adapté au niveau Première Spécialité pour l'étude des configurations géométriques, porte sur la comparaison d'aires entre un polygone (octogone) et un disque inscrit. L'enjeu est de mobiliser les connaissances sur le calcul de surfaces élémentaires, d'utiliser le théorème de Pythagore pour valider la nature d'un polygone et d'appliquer des calculs de proportions numériques (pourcentages).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs concepts clés doivent être maîtrisés :
- Propriétés des polygones réguliers : Un polygone est régulier si tous ses côtés sont de même longueur et ses angles de même mesure.
- Calcul d'aires : Aire du carré ($c^2$), aire du triangle rectangle ($( ext{base} imes ext{hauteur})/2$) et aire du disque ($\pi imes r^2$).
- Théorème de Pythagore : Indispensable pour calculer les segments obliques sur les côtés du carré.
- Calcul d'erreur relative : Savoir comparer une différence d'aires par rapport à une valeur de référence en pourcentage.
Correction détaillée
1. a. Le polygone IJKLMNOP est-il régulier ?
Observons les longueurs des côtés. Le côté du carré ABCD mesure 9 cm. Le codage indique que chaque côté est divisé en trois segments égaux de $9 / 3 = 3$ cm. Ainsi, $IJ = 3$ cm.
Pour le côté $JK$, considérons le triangle rectangle $JBK$. On a $JB = 3$ cm et $BK = 3$ cm. D'après le théorème de Pythagore : $JK^2 = JB^2 + BK^2 = 3^2 + 3^2 = 18$. Donc $JK = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4,24$ cm.
Comme $IJ
eq JK$, le polygone n'est pas régulier.
1. b. Justification de l'aire de 63 cm²
L'aire du polygone grisé s'obtient en soustrayant l'aire des quatre triangles rectangles aux coins du carré $ABCD$.
Aire $ABCD = 9 imes 9 = 81$ cm².
Chaque triangle (ex: $AIP$) a une aire de : $(3 imes 3) / 2 = 4,5$ cm².
Aire totale des 4 triangles = $4 imes 4,5 = 18$ cm².
Aire $IJKLMNOP = 81 - 18 = 63$ cm². La valeur est bien vérifiée.
2. a. Aire du disque
Le diamètre est de 9 cm, donc le rayon $r = 4,5$ cm.
$ ext{Aire}_{ ext{disque}} = \pi imes 4,5^2 = 20,25\pi \approx 63,617$ cm².
2. b. Comparaison des aires
La différence d'aire est : $63,617 - 63 = 0,617$ cm².
Le rapport à l'aire du disque est : $0,617 / 63,617 \approx 0,0097$.
En multipliant par 100, on obtient environ $0,97\%$, ce qui est bien inférieur à $1\%$.