Présentation du sujet du Brevet 2015 (Amérique du Sud)

Ce sujet de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) de la session de décembre 2015, spécifique à la zone Amérique du Sud, est un excellent témoin des attentes du programme de fin de collège. Il est caractérisé par une forte proportion de problèmes concrets et intègre de manière équilibrée les trois grands domaines : Numérique, Organisation/Gestion de données et Géométrie. L'énoncé met l'accent sur la justification des résultats et encourage la prise d'initiatives, notamment dans les derniers exercices. Les candidats devaient faire preuve de rigueur en calcul littéral et de maîtrise des outils de la géométrie classique.

Analyse détaillée par exercice

• Exercice 1 : QCM général (4 points)

  Cet exercice rapide de type QCM évalue des notions fondamentales sans justification. Il aborde la simplification des puissances et des racines carrées (Calcul numérique), l'analyse d'une série statistique simple (médiane et moyenne), l'application des fractions à un effectif total, et la résolution d'un système d'équation du premier degré. C'est un prérequis essentiel pour évaluer la base de connaissances numériques et algébriques.

• Exercice 2 : Fonctions et Tableur (4 points)

  Ce bloc se concentre sur les fonctions affines ($g$) et linéaires ($f$). Il exige l'utilisation du Tableur, demandant aux élèves de retrouver la formule de calcul et la valeur de l'antécédent. La dernière question, qui porte sur le produit $h(x) = f(x) \times g(x)$, permet de vérifier si les candidats identifient correctement les propriétés des fonctions affines (un produit de fonctions du premier degré donne une fonction polynomiale du second degré, donc non affine).

• Exercice 3 : Probabilités et Arithmétique (4 points)

  L'exercice du DJ mélange deux domaines. La première question est un calcul direct de probabilité simple (Rap sur Total). La seconde partie est un problème classique d'optimisation nécessitant l'utilisation du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD), tagué ici comme Arithmétique. Trouver le nombre maximum de mixes identiques revient à calculer le PGCD de 96 et 104.

• Exercice 4 : Géométrie Classique (6 points)

  C'est l'exercice central de géométrie, portant sur la modélisation d'une charpente. Il mobilise la "Trinité" géométrique du collège :

  • Justification de la hauteur CD (utilisant potentiellement la Trigonométrie ou l'angle $25^\circ$).
  • Calcul de la longueur AC via le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ADC.
  • Calcul de la longueur DI en utilisant le théorème de Thalès, grâce aux poutres parallèles [AC] et [HI].
  La dernière question invite à la Prise d'initiatives en demandant deux méthodes distinctes pour calculer la longueur JD (par exemple : Thalès dans un autre triangle, ou usage de la symétrie et de Pythagore).

• Exercice 5 : Vrai/Faux Justifié (4 points)

  Ce format demande une justification rigoureuse des affirmations. La première est un test de calcul littéral (identité remarquable $(n-3)^2$) et d'équation. La seconde est un problème de grandeurs composées et de vitesses, nécessitant une conversion d'unités (km/h en m/s) pour comparaison.

• Exercice 6 : Aires, Volumes et Pourcentages (5 points)

  Le problème de la piscine combine plusieurs étapes pratiques. D'abord, il faut comparer les aires des piscines pour choisir le plus grand modèle. Ensuite, il faut calculer l'aire totale de la surface à recouvrir de dalles (aire de la grande surface moins aire de la piscine). Enfin, un calcul financier est requis, intégrant la proportionnalité et l'application d'un pourcentage de réduction (15% de remise).

• Exercice 7 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

  L'exercice du bonhomme de neige exploite les volumes de boules. Il teste la formule $V = \frac{4}{3} \pi R^3$. La relation entre la petite et la grande boule (rayon doublé) est un cas d'Agrandissement-réduction, où le volume est multiplié par $k^3 = 2^3 = 8$. La dernière question, plus complexe, demande l'aire de la surface de coupe (un cercle) obtenue par intersection d'un plan et d'une sphère, nécessitant l'usage de Pythagore pour trouver le rayon du cercle de section.

• Exercice 8 : Modélisation et Choix Optimal (4 points)

  Cet exercice final est une application directe des équations ou des fonctions pour modéliser deux tarifs. L'objectif est de trouver à partir de combien de voyages l'abonnement devient plus avantageux que le tarif plein. Il peut être résolu algébriquement ($40x > 442 + 20x$) ou graphiquement, illustrant parfaitement la transition entre l'arithmétique et l'algèbre fonctionnelle.

Conclusion : Maîtriser les fondamentaux pour réussir

Le Brevet 2015 Amérique du Sud est une épreuve complète, privilégiant les compétences de modélisation et la capacité à enchaîner les théorèmes de géométrie (Thalès, Pythagore). La présence d'exercices sur l'Arithmétique (PGCD) et la Géométrie dans l'espace (Volumes et Agrandissement/Réduction) confirme l'importance de ces thèmes au DNB. Pour le préparer efficacement, les élèves doivent s'assurer d'une excellente maîtrise des conversions d'unités et des identités remarquables, tout en développant leur méthodologie de résolution de problèmes concrets.