Analyse de l'énoncé : Réussir l'exercice 3 du DNB 2024

Cet exercice, typique de la fin de cycle 4, est un excellent cas pratique mobilisant simultanément trois compétences fondamentales du programme de Troisième : les Statistiques, les Pourcentages appliqués à une situation commerciale, et la Trigonométrie pour une vérification géométrique. Il demande rigueur dans l'application des formules et une attention particulière aux unités (kWh, centimes, euros).

Partie 1 : Maîtrise des Statistiques

La première partie se concentre sur l'analyse de la série statistique de la production hebdomadaire d'électricité.

• Jour de production maximale : Il suffit de lire la valeur la plus élevée dans le tableau, soit 405 kWh. Ce jour est le Samedi.
• Calcul de l'étendue : L'étendue est la différence entre la plus grande valeur (Max = 405 kWh) et la plus petite (Min = 322 kWh le Mercredi). L'étendue est donc $405 - 322 = 83$ kWh. Cela mesure la dispersion des données.
• Calcul de la moyenne : La production moyenne se calcule en sommant toutes les productions et en divisant par le nombre de jours (7). La somme totale est $381 + 363 + 322 + 329 + 393 + 405 + 376 = 2569$ kWh. La production moyenne est $\frac{2569}{7} \approx 367$ kWh par jour.

Partie 2 : Revenus et Pourcentages

Cette étape est cruciale pour l'application des pourcentages dans un contexte financier.

L'entreprise revend $15\,\%$ de sa production totale (2569 kWh). La quantité revendue est : $2569 \times 0,15 = 385,35$ kWh. Le tarif est de 8 centimes (soit 0,08 euro) par kWh. Le gain est donc : $385,35 \times 0,08 = 30,828$ euros. L'entreprise a gagné environ 30,83 euros pendant cette semaine.

Partie 3 : Application de la Trigonométrie (Angle de Pente)

Pour assurer une production maximale, la pente (l'angle $\widehat{\text{OLV}}$) doit être comprise entre $30\degres$ et $35\degres$. Nous devons utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle OVL (rectangle en V).

• Identification des données : Nous cherchons l'angle $\widehat{\text{OLV}}$. Nous connaissons le côté opposé (OV = 7 m) et l'hypoténuse (OL = 13,5 m).
• Choix de la formule : Puisque nous connaissons l'Opposé et l'Hypoténuse, nous utilisons le Sinus (SOH). $\sin(\widehat{\text{OLV}}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{OV}{OL} = \frac{7}{13,5}$.
• Calcul de l'angle : $\sin(\widehat{\text{OLV}}) \approx 0,5185$. En utilisant la fonction arc sinus sur la calculatrice : $\widehat{\text{OLV}} = \arcsin(0,5185) \approx 31,23\degres$.

Conclusion : Comme $30\degres < 31,23\degres < 35\degres$, l'angle de pente est bien dans l'intervalle requis. Les panneaux solaires ont donc une production maximale selon ce critère.