Analyse de l'énoncé et Corrigé DNB

Cet exercice, issu du Brevet 2024 (Amérique du Nord), met en lumière deux notions fondamentales du programme de troisième : la géométrie plane autour du théorème de Thalès et la compréhension d'un programme de construction (Scratch).

Partie A : Géométrie

Question 1 : Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
Sur la figure, les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CBA}$ mesurent $60^\circ$. La somme des angles d'un triangle étant $180^\circ$, l'angle $\widehat{ACB}$ mesure $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Puisque les trois angles sont égaux à $60^\circ$, le triangle ABC est équilatéral. Par conséquent, $AC = BC = AB = 240$ mm.

Question 2 : Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Nous sommes dans une configuration de Thalès (en sablier) car les points A, C, E et B, C, D sont alignés, C étant le point d'intersection. Nous utilisons la Réciproque du Théorème de Thalès. Nous calculons le rapport des longueurs sur les droites sécantes :
$CE/CA = 80 / 240 = 1/3$.
La figure étant conçue pour être tracée par le programme (voir Partie B, Question 4), nous savons que le rapport de réduction est $1/3$, ce qui implique $CD/CB = 1/3$. Puisque $240 imes 1/3 = 80$, nous en déduisons que $CD = 80$ mm. Les rapports sont égaux ($CE/CA = CD/CB = 1/3$). De plus, les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

Partie B : Programmation et Algorithmique

Question 1 : Coordonnées du point de départ du lutin.
L'instruction L2 indique le point de départ : (-180, -150).

Question 2 : Valeur saisie à la ligne 4.
Le premier bloc triangle (L5) trace le triangle ABC. Puisque $AB = 240$ mm et que 1 pas = 1 mm, la longueur du côté doit être de 240. La valeur est donc 240.

Question 3 : Case après l'exécution de la ligne 7.
La séquence L6 et L7 est prévue pour déplacer le lutin du point de départ A (D8) vers le point C (l'intersection des segments AE et BD). Le segment AC mesure 240 pas. En utilisant l'échelle de la grille fournie (où $AB=240$ correspond à 6 unités de grille), le point C est trouvé géométriquement. Ce point se situe dans la case G3.

Question 4 : Explication de l'instruction « côté / 3 ».
Cette instruction (L8) prépare le tracé du second triangle, CDE. D'après la Partie A, ce triangle est le résultat d'une réduction du triangle ABC par un facteur $k=1/3$. L'instruction met donc à jour la variable pour que le nouveau côté soit $240 / 3 = 80$ mm. Cela permet au bloc triangle (L9) de dessiner $ riangle CDE$ dont les côtés mesurent 80 mm.