Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une application concrète de la géométrie plane dans le cadre de la conception d'un limon d'escalier. Il mobilise des compétences fondamentales de géométrie euclidienne : le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle et le théorème de Thalès lié à la configuration de droites parallèles.

Points de vigilance et notions requises

• Modélisation : Il faut identifier que le triangle EBD est rectangle en B.
• Combinaison de longueurs : La hauteur totale BD est la somme de la hauteur sous plafond (BC) et de l'épaisseur de la dalle (CD).
• Théorème de Thalès : L'alignement des points et le parallélisme des droites (AC) et (ED) permettent d'établir des rapports de proportionnalité.

Correction détaillée

1. Preuve que ED = 450 cm :
Le triangle EBD est rectangle en B. D'après l'énoncé : EB = 360 cm. La hauteur BD est égale à BC + CD, soit 250 cm + 20 cm = 270 cm.
D'après le théorème de Pythagore :
ED² = EB² + BD²
ED² = 360² + 270² = 129 600 + 72 900 = 202 500
ED = √202 500 = 450 cm.

2. Calcul de AC et AE :
Dans le triangle EBD, les points B, A, E sont alignés ainsi que les points B, C, D. Puisque (AC) // (ED), nous appliquons le théorème de Thalès :
BA / BE = BC / BD = AC / ED.

Calcul de AC :
AC / 450 = 250 / 270
AC = (450 × 250) / 270 = 416,66... soit environ 417 cm.

Calcul de AE :
Calculons d'abord BA : BA / 360 = 250 / 270
BA = (360 × 250) / 270 = 333,33... cm.
Puisque A appartient au segment [EB], AE = EB - BA = 360 - 333,33... = 26,66... soit environ 27 cm.