Analyse de l'énoncé : Le Pont entre Algèbre et Algorithmique

Cet exercice est un excellent condensé des compétences exigées au Brevet en fin de cycle 4. Il couvre les quatre notions clés : Programme de calculs, Calcul littéral, Résolution d’équations et Programmation (via Scratch). Le programme de calcul initial définit en réalité une fonction quadratique, $f(x) = x^2 - 3x - 4$, que l'élève doit manipuler sous ses formes développée et factorisée, avant de l'implémenter et de résoudre une équation associée.

Points clés et Méthodologie

• Question 1 : Vérification Numérique. Il s'agit d'appliquer scrupuleusement les étapes du programme de calcul avec $x=5$. Cela permet de s'assurer de la bonne compréhension de l'énoncé : $5^2 = 25$. Soustraire le triple du nombre : $25 - (3 imes 5) = 25 - 15 = 10$. Enfin, $10 - 4 = 6$. Cette étape est fondamentale pour aborder le calcul littéral.
• Question 2 : Le Calcul Littéral. Remplacer le nombre de départ par la variable $x$ permet d'écrire directement l'expression algébrique : $x^2 - 3x - 4$. C'est la forme développée du résultat.
• Question 3 : La Factorisation (Vérification). L'énoncé fournit la forme factorisée $(x+ 1)(x - 4)$. Pour vérifier, il faut développer cette expression en utilisant la double distributivité : $(x+1)(x-4) = x^2 - 4x + 1x - 4 = x^2 - 3x - 4$. La vérification est réussie.
• Question 4 : Résolution d'Équation. Déterminer les nombres pour un résultat nul revient à résoudre l'équation produit : $(x+1)(x-4) = 0$. La règle du produit nul stipule que si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. On obtient $x+1=0$ (donc $x=-1$) et $x-4=0$ (donc $x=4$). Les deux solutions sont $-1$ et $4$.
• Question 5 : Algorithmique et Scratch. Il faut faire correspondre les étapes du programme de calcul au code. La ligne 4 doit calculer le carré du nombre $x$ et la ligne 6 réalise la soustraction finale. Si $y = x^2$ et $z = 3x$, alors le résultat est $y - z - 4$. Les complétions sont : Ligne 4 : x * x ; Ligne 6 : y - z.

La réussite de cet exercice démontre une maîtrise complète du programme de 3ème reliant l'algèbre à l'environnement de programmation.