Analyse de l'énoncé et modélisation
Cet exercice, extrait du sujet de 2015, est un classique de la modélisation algébrique. Bien qu'il se présente sous une forme arithmétique simple, il constitue le socle fondamental pour le programme de Première Spécialité Mathématiques, notamment pour la résolution de problèmes par mise en équation. L'objectif est de traduire un énoncé verbal en un système d'équations du premier degré, une compétence transversale que l'on retrouve dans l'étude du Second degré (recherche de racines) et de la Géométrie repérée (intersection de droites).
Dans cet exercice, nous avons deux types d'inconnues : le prix d'une tulipe et le prix d'une rose. La première étape consiste à poser les variables :
- Soit $x$ le prix unitaire d'une tulipe (en euros).
- Soit $y$ le prix unitaire d'une rose (en euros).
Points de vigilance et compétences requises
Pour réussir ce type de problème, plusieurs points de vigilance sont à noter :
- La traduction des données : Le bouquet de 5 tulipes et 2 roses se traduit par l'expression $5x + 2y$.
- La cohérence des unités : Veillez à ce que tous les prix soient exprimés dans la même unité (ici l'euro).
- Le choix de la méthode : Un système peut se résoudre par substitution ou par combinaison linéaire. En Première Spécialité, la méthode par substitution est souvent privilégiée lorsqu'une variable a un coefficient de 1, ce qui est le cas ici dans la deuxième équation ($x + y = 4,30$).
Correction détaillée et guide de résolution
Le système d'équations s'écrit de la manière suivante :
1) $5x + 2y = 13,70$
2) $x + y = 4,30$
Étape 1 : Expression d'une variable en fonction de l'autre
À partir de l'équation (2), nous pouvons isoler $y$ :
$y = 4,30 - x$
Étape 2 : Substitution dans la première équation
On remplace $y$ dans (1) par l'expression trouvée :
$5x + 2(4,30 - x) = 13,70$
$5x + 8,60 - 2x = 13,70$
$3x + 8,60 = 13,70$
Étape 3 : Résolution de l'équation à une inconnue
$3x = 13,70 - 8,60$
$3x = 5,10$
$x = 5,10 / 3 = 1,70$
Étape 4 : Calcul de la seconde variable
On remplace $x$ dans l'expression de $y$ :
$y = 4,30 - 1,70 = 2,60$
Conclusion : Une tulipe coûte 1,70 € et une rose coûte 2,60 €. La vérification est simple : $5(1,70) + 2(2,60) = 8,50 + 5,20 = 13,70$, le compte est bon ! Cette méthode de résolution est la base de l'identification des coefficients dans les chapitres sur les polynômes.