Exercice Brevet 2024 - Amérique du Nord - Ex 2 : Programme de Calculs, Calcul Littéral et Équations
1 juin 2024
Troisième (Brevet)
Équations
🚀 Prêt à débloquer tous les secrets du Programme de calculs ? Cet exercice du Brevet 2024 te défie sur le Calcul Littéral, la Double Distributivité et surtout la résolution d'Équations Produit Nul. 🧠 Ne laisse pas ces points t'échapper au DNB ! Accroche-toi, le corrigé t'attend !
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
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Analyse de l'énoncé : Maîtriser le Programme de Calculs à branches
Cet exercice est un classique du Brevet qui teste simultanément trois compétences fondamentales de 3ème : l'application numérique d'un algorithme, la modélisation par le Calcul littéral, et la résolution d'Équations (ici, une équation produit nul).
Le programme est décomposé en deux branches parallèles avant de combiner les résultats par multiplication :
- Branche 1 (Gauche) : Ajouter 2, puis Multiplier par 4. Si $x$ est le nombre de départ, cela donne $(x + 2) imes 4$.
- Branche 2 (Droite) : Multiplier par 5, puis Soustraire 3. Si $x$ est le nombre de départ, cela donne $5x - 3$.
- Résultat final : $(x + 2) imes 4 imes (5x - 3)$.
Résolution des applications numériques (Questions 1 & 2)
Pour la Question 1 (choix de $x=2$) :
- Branche 1 : $(2 + 2) imes 4 = 4 imes 4 = 16$.
- Branche 2 : $5 imes 2 - 3 = 10 - 3 = 7$.
- Résultat : $16 imes 7 = 112$. (Démonstration demandée et vérifiée.)
Pour la Question 2 (choix de $x=-3$) :
- Branche 1 : $(-3 + 2) imes 4 = -1 imes 4 = -4$.
- Branche 2 : $5 imes (-3) - 3 = -15 - 3 = -18$.
- Résultat : $(-4) imes (-18) = 72$.
Calcul Littéral et Modélisation (Questions 3 & 5)
La Question 3 demande de choisir la bonne expression. L'expression générale est $(x + 2) imes 4 imes (5x - 3)$. En appliquant la distributivité simple à la première parenthèse, on obtient $(4x + 8)(5x - 3)$. L'expression correcte est donc l'Expression C.
La Question 5 demande de développer et réduire l'expression B, $(4 x+ 2)(5x - 3)$, en utilisant la double distributivité :
$$ (4 x+ 2)(5x - 3) = 4x imes 5x + 4x imes (-3) + 2 imes 5x + 2 imes (-3) $$
$$ = 20x^2 - 12x + 10x - 6 = 20x^2 - 2x - 6. $$
Résolution d'Équations Produit Nul (Question 4)
Pour obtenir 0 à l'arrivée, nous devons résoudre l'équation : $$(4x + 8)(5x - 3) = 0$$
Selon la règle du produit nul, si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Nous obtenons deux équations distinctes :
- $4x + 8 = 0 \implies 4x = -8 \implies x = -2$
- $5x - 3 = 0 \implies 5x = 3 \implies x = rac{3}{5}$ (ou 0,6)
Les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 sont donc $-2$ et $ rac{3}{5}$. Cet exercice vérifie votre capacité à transformer un programme de calcul en une équation que vous savez résoudre en 3ème.