Analyse de l'énoncé et modélisation
Cet exercice, issu du Brevet 2014 (Asie), est un excellent moyen de maîtriser l'application du calcul numérique et des puissances dans un contexte concret de suite géométrique. La difficulté réside dans la modélisation correcte de la situation et la gestion des unités et de l'arrondi final.
La situation décrite est celle d'une décroissance exponentielle. Chaque hauteur dépend de la hauteur précédente par un facteur constant, ici la fraction $\frac{3}{4}$.
La hauteur initiale est $H_0 = 1$ mètre.
- Après le 1er rebond ($R_1$) : $H_1 = H_0 \times \frac{3}{4}$.
- Après le 2ème rebond ($R_2$) : $H_2 = H_1 \times \frac{3}{4} = 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2$.
On constate que pour $n$ rebonds, la hauteur $H_n$ sera donnée par la formule $H_n = H_0 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n$. C'est l'essence du concept de Puissance : la multiplication répétée d'un même facteur.
Calcul de la hauteur au cinquième rebond
Nous cherchons la hauteur $H_5$. En appliquant la formule avec $n=5$ et $H_0 = 1$ mètre, nous obtenons :
$$H_5 = 1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^5$$
Pour effectuer ce calcul, il est nécessaire d'utiliser les puissances :
- $$\left(\frac{3}{4}\right)^5 = \frac{3^5}{4^5}$$
- $3^5 = 243$
- $4^5 = 1024$
- $H_5 = \frac{243}{1024} \approx 0,2373046875$ mètres.
Points clés : Conversion et arrondi
L'énoncé demande d'arrondir la réponse au centimètre près. Il est essentiel de gérer les unités correctement :
- Convertir la hauteur en mètres en centimètres : $0,237304... \text{ m} = 23,7304... \text{ cm}$.
- Arrondir au centimètre près (unité entière de cm). Pour ce faire, nous regardons le chiffre des dixièmes, qui est 7. Comme $7 \geq 5$, nous arrondissons à la valeur supérieure.
- L'arrondi est donc $24$ cm.
La balle atteint une hauteur de 24 cm au cinquième rebond. Cet exercice met en lumière l'importance des Puissances pour décrire des phénomènes de croissance ou décroissance itératifs et rappelle la nécessité de la rigueur dans les conversions d'unités pour les examens du Brevet.