Analyse de l'énoncé et identification du modèle géométrique
Cet exercice de géométrie modélise une situation pratique (mesurer une distance inaccessible, la largeur DA d'une rivière) en utilisant les propriétés des triangles semblables. C'est une application directe et classique du Théorème de Thalès dans sa configuration dite « en papillon » ou « en sablier ».
Pour déterminer la largeur DA, nous disposons des mesures suivantes issues des repérages effectués par Joachim :
- Les points D, R et V sont alignés sur la rive.
- DR = 20 m et RV = 12 m.
- Les segments [DA] et [VB] sont perpendiculaires à la rive (à la droite (DV)). Par conséquent, les droites (DA) et (VB) sont parallèles.
- VB = 15 m.
Points clés : Conditions d'application de Thalès
Pour pouvoir établir l'égalité des rapports, il faut vérifier les conditions du théorème de Thalès dans les triangles RAD et RBV :
- Les droites (AB) et (DV) sont sécantes au point R.
- Les droites (DA) et (VB) sont parallèles (car elles sont toutes deux perpendiculaires à la droite de la rive).
Ces conditions étant remplies, nous pouvons appliquer le théorème pour écrire les rapports de proportionnalité des longueurs des côtés correspondants :
$$ \frac{RD}{RV} = \frac{RA}{RB} = \frac{DA}{VB} $$
Calcul de la largeur de la rivière (DA)
Nous isolons les rapports qui contiennent les longueurs connues et la longueur recherchée DA :
$$ \frac{DR}{RV} = \frac{DA}{VB} $$
Substituons les valeurs numériques :
$$ \frac{20}{12} = \frac{DA}{15} $$
Pour trouver DA, nous effectuons un produit en croix :
$$ DA = 15 \times \frac{20}{12} $$
Simplifions la fraction $\frac{20}{12}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par 4, ce qui donne $\frac{5}{3}$ :
$$ DA = 15 \times \frac{5}{3} = \frac{15}{3} \times 5 = 5 \times 5 $$
$$ DA = 25 \text{ mètres} $$
Conclusion et vérification
La largeur de la rivière (DA) est de 25 mètres. Joachim dispose d'une corde de 30 mètres.
Puisque $25 ext{ m} < 30 ext{ m}$, la corde est en effet suffisamment longue pour être installée. La décision de Joachim est confirmée.