Analyse de l'énoncé : Les Portes Busquées et la Trigonométrie

Cet exercice du Brevet teste votre capacité à mobiliser la trigonométrie (notion centrale en classe de 3ème) pour résoudre un problème de géométrie appliqué à l'ingénierie civile. Le système des portes d'écluse forme un triangle isocèle APB, où les segments AP et BP représentent les portes de même longueur, et AB la largeur de l'écluse. Nous connaissons la largeur $AB = 5,8$ m et l'angle au quai $\angle PAB = 55^{\circ}$. L'objectif est de trouver la longueur AP.

Points clés de la résolution

• Identification de la figure : Le système des portes forme un triangle isocèle APB (car les portes sont de même longueur).
• Condition d'application de la trigonométrie : Les formules $\text{sin}$, $\text{cos}$, $\text{tan}$ ne s'appliquent qu'aux triangles rectangles. Il faut donc construire un triangle auxiliaire.
• Construction : Tracer la hauteur (médiatrice) issue de P vers le segment AB. Nommons H le point d'intersection. Le triangle APH est rectangle en H.

Démarche détaillée et application du Cosinus

1. Calcul de la moitié de la base : Puisque H est le milieu de AB (dans le triangle isocèle APB), la longueur AH est : $AH = \frac{AB}{2} = \frac{5,8}{2} = 2,9 \text{ m}$.

2. Choix de la relation trigonométrique : Dans le triangle rectangle APH, nous cherchons l'hypoténuse (AP) et nous connaissons l'angle $\angle PAH = 55^{\circ}$ ainsi que le côté adjacent (AH = 2,9 m). La formule appropriée est le Cosinus :

$$\text{cos}(\text{Angle}) = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$$

3. Calcul de la longueur AP : Nous appliquons la formule :

$$\text{cos}(55^{\circ}) = \frac{AH}{AP} = \frac{2,9}{AP}$$

En réarrangeant l'équation pour isoler AP :

$$AP = \frac{2,9}{\text{cos}(55^{\circ})}$$

À l'aide d'une calculatrice (et en utilisant la valeur approximative $\text{cos}(55^{\circ}) \approx 0,5736$) :

$$AP \approx \frac{2,9}{0,5736} \approx 5,0558 \text{ m}$$

4. Arrondi final : L'énoncé exige un résultat au centimètre près (soit au centième de mètre). La longueur de chaque porte est de 5,06 m.