Analyse de l'énoncé

Cet exercice, typique du format Vrai/Faux du Brevet, évalue deux compétences fondamentales en classe de Troisième : l'arithmétique (diviseurs et PGCD) et le calcul numérique portant sur les puissances et les racines carrées. La justification est ici la clé de la réussite, car il faut prouver mathématiquement si l'affirmation est vraie ou si un contre-exemple suffit à la rendre fausse.

Nous allons décortiquer chaque affirmation étape par étape, en utilisant la méthode des listes pour la première partie et les propriétés des puissances pour la seconde.

Affirmation 1 : Les diviseurs communs (Arithmétique)

L'affirmation stipule que l'ensemble des diviseurs communs à 12 et 18 est identique à l'ensemble des diviseurs de 6. Cela revient à vérifier si le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des deux nombres est bien 6, et si tous les diviseurs du PGCD correspondent aux diviseurs communs.

• Diviseurs de 12 : $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
• Diviseurs de 18 : $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$
• Diviseurs communs à 12 et 18 : $\{1, 2, 3, 6\}$ (Le PGCD est 6)
• Diviseurs de 6 : $\{1, 2, 3, 6\}$

Puisque les deux ensembles sont strictement identiques, l'Affirmation 1 est Vraie.

Affirmation 2 : Calculs avec les puissances de racines

Cette affirmation teste la compréhension des puissances appliquées aux racines carrées. On rappelle la propriété essentielle : $(\sqrt{a})^n = a^{n/2}$ si $n$ est pair, ce qui donne un résultat entier.

Calcul de $\left(\sqrt{2} ight)^{50}$

Nous pouvons écrire : $\left(\sqrt{2} ight)^{50} = \left((\sqrt{2})^2 ight)^{25} = (2)^{25}$. Puisque $2^{25}$ est une puissance entière de 2, c'est un nombre entier.

Calcul de $\left(\sqrt{2} ight)^{100}$

De même : $\left(\sqrt{2} ight)^{100} = \left((\sqrt{2})^2 ight)^{50} = (2)^{50}$. Puisque $2^{50}$ est une puissance entière de 2, c'est également un nombre entier.

Les deux résultats, $2^{25}$ et $2^{50}$, sont des nombres entiers. Par conséquent, l'Affirmation 2 est Vraie.

Points clés

• Les diviseurs communs de deux nombres $A$ et $B$ sont toujours les diviseurs de leur PGCD.
• Pour simplifier $(\sqrt{a})^n$, on utilise l'équivalence $(\sqrt{a})^2 = a$.
• Si l'exposant $n$ est pair, $(\sqrt{a})^n$ sera toujours un nombre entier (pour $a$ entier positif). Si $n$ est impair, le résultat contiendra la racine $\sqrt{a}$ et ne sera pas entier (sauf cas particuliers comme $a=1$ ou $a=4$).