Analyse de l'énoncé : La Croix du Bûcheron et Thalès
Cet exercice du DNB 2014 (Métropole) est un excellent exemple d'application du Théorème de Thalès et des notions d'agrandissement-réduction en situation réelle. L'objectif est de déterminer la hauteur d'un arbre (segment AB) en utilisant un instrument simple, la croix du bûcheron (segment DE).
Points clés de la Géométrie (Théorème de Thalès)
La configuration géométrique montre que les triangles ODE (petit) et OAB (grand) sont semblables. Ils sont centrés en O (l'œil de l'observateur). Puisque le segment DE (la croix) et le segment AB (l'arbre) sont tous deux verticaux, ils sont parallèles. Les droites (OA) et (OB) sont sécantes en O et coupent les parallèles (DE) et (AB). Le triangle ABO est donc un agrandissement du triangle ODE.
Calcul du Coefficient d'Agrandissement (Question 1)
Le coefficient d'agrandissement $k$ est le rapport entre les longueurs homologues (hauteur de l'arbre / hauteur de la croix) ou le rapport des distances horizontales (distance œil-arbre / distance œil-croix).
Nous disposons des distances horizontales :
- Distance œil-croix (OF) : $h_{DE} = 35$ cm = 0,35 m.
- Distance œil-arbre (BC) : $h_{AB} = 7,7$ m.
Le coefficient $k$ est donné par : $k = \frac{h_{AB}}{h_{DE}} = \frac{7,7}{0,35}$. En multipliant le numérateur et le dénominateur par 100, on obtient $k = \frac{770}{35} = 22$. Le coefficient d'agrandissement est bien 22.
Détermination de la Hauteur de l'Arbre (Question 2)
Puisque $AB$ est l'image agrandie de $DE$ avec un coefficient $k=22$, on a $AB = k \times DE$.
$DE = 20$ cm = 0,20 m.
$AB = 22 \times 0,20 = 4,4$ m. La hauteur de l'arbre est 4,4 mètres.
Avantage de la Croix Spécifique (Question 3)
Si la croix est telle que $DE = OF$. Rappelons que le coefficient $k$ est $k = \frac{AB}{DE} = \frac{h_{AB}}{OF}$. Si $DE = OF$, alors $k = \frac{AB}{DE} = \frac{h_{AB}}{DE}$. Cela implique directement que $AB = h_{AB}$. L'avantage de ce type de croix est que la hauteur de l'arbre est égale à la distance horizontale mesurée au sol entre l'observateur et l'arbre. Cela simplifie la mesure car on mesure uniquement la distance au sol pour obtenir la hauteur.
Aires et Périmètres : Calcul du Diamètre (Question 4)
La circonférence (périmètre) d'un cercle est donnée par la formule $C = \pi d$, où $d$ est le diamètre. On nous donne $C = 138$ cm.
$d = \frac{C}{\pi} = \frac{138}{\pi} \approx 43,92$ cm.
Arrondi au centimètre près, le diamètre de l'arbre est de 44 cm.