Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Brevet, issu de la session 2014 en Métropole, est un classique de la Géométrie plane, exigeant la manipulation des propriétés des polygones réguliers inscrits dans un cercle, ici un octogone. La résolution repose essentiellement sur la connaissance de la mesure des angles au centre et des angles inscrits, ainsi que sur le théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle.

Un octogone régulier est un polygone à 8 côtés de même longueur, dont les sommets sont équidistants du centre O du cercle circonscrit.

Stratégie de résolution et notions clés

Pour résoudre cet exercice, trois notions fondamentales sont mobilisées :

• Angle au centre : Dans un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle au centre associé à chaque côté mesure $360^\circ / n$. Pour l'octogone, $360^\circ / 8 = 45^\circ$.
• Triangle rectangle : Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle (l'angle opposé au diamètre est droit).
• Angle inscrit : La mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'arc qu'il intercepte.

Corrigé Pédagogique Détaillé

1. Représentation (Agrandissement)

Pour construire l'octogone régulier dans un cercle de rayon 3 cm, on commence par tracer le cercle de centre O et de rayon 3 cm. On trace ensuite un premier rayon [OH]. En utilisant le rapporteur, on place les 7 autres sommets en respectant un angle au centre de $45^\circ$ entre chaque sommet consécutif. $(H o A o B \dots)$

2. Démontrer que le triangle DAH est rectangle

Dans un octogone régulier ABCDEFGH, les sommets D et H sont diamétralement opposés (ils sont séparés par 4 côtés). Par conséquent, le segment [DH] est un diamètre du cercle circonscrit à l'octogone. Le triangle DAH est inscrit dans ce cercle. Comme le côté [DH] est un diamètre, alors, d'après la propriété du cercle circonscrit, le triangle DAH est rectangle en A. L'angle $\widehat{DAH}$ mesure donc $90^\circ$.

3. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BEH}$

L'angle $\widehat{BEH}$ est un angle inscrit qui intercepte l'arc BH. L'arc BH est formé par deux côtés consécutifs de l'octogone (l'arc HA et l'arc AB). La mesure d'un arc correspondant à un côté est égale à l'angle au centre : $45^\circ$.

La mesure de l'arc BH est donc : $m( ext{Arc } BH) = m( ext{Arc } HA) + m( ext{Arc } AB) = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Puisque l'angle inscrit mesure la moitié de l'arc intercepté : $\widehat{BEH} = m( ext{Arc } BH) / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.