Analyse de l'énoncé et Contexte du DNB

Cet exercice, extrait du Brevet 2014 Amérique du Nord, est un classique pour évaluer la maîtrise des Probabilités au niveau 3ème. Le scénario des deux péniches en attente rend l'énoncé concret, mais la difficulté réside dans l'interprétation précise du système de points pour la Question 3.

L'information clé de départ est que les dés sont « équilibrés », ce qui nous place dans une situation d'équiprobabilité : chaque face a la même chance d'apparaître.

Points clés pour la résolution

• Question 1 : Équiprobabilité. Un dé à six faces étant équilibré, la probabilité d'obtenir n'importe quelle face est identique, soit $1/6$. La probabilité d'obtenir un « 1 » est donc rigoureusement la même que celle d'obtenir un « 5 ».
• Question 2 : Principe multiplicatif et Univers des possibles. Puisque les deux dés (rouge et jaune) sont lancés indépendamment, le nombre total d'issues possibles se calcule par le produit des issues de chaque dé : $6 imes 6 = 36$ issues possibles. Ces issues constituent l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire.
• Question 3 : Détermination des issues gagnantes. Cette question est la plus complexe car elle nécessite d'abord de déterminer le score requis, puis d'identifier les événements élémentaires qui satisfont ce critère.

Détail du calcul de la probabilité de gagner (Q3)

Paul a 650 points et doit atteindre 1000 points. Il lui manque donc $1000 - 650 = 350$ points pour gagner instantanément à son troisième lancer.

Nous devons identifier tous les lancers qui rapportent au moins 350 points, en se basant sur les 36 issues possibles :

1. Paire de 1 (Deux « 1 ») : 1000 points (Gagnant).
2. Paire de 2, 3 : 200, 300 points (Insuffisant).
3. Paire de 4 : $4 imes 100 = 400$ points (Gagnant, car $400 \ge 350$).
4. Paire de 5 : $5 imes 100 = 500$ points (Gagnant).
5. Paire de 6 : $6 imes 100 = 600$ points (Gagnant).
6. Autre résultat (non-paire) : 50 points (Insuffisant).

Les issues favorables, qui permettent à Paul de gagner, sont les paires de 1, de 4, de 5 et de 6. Il y a 4 issues favorables : (1, 1), (4, 4), (5, 5) et (6, 6).

La probabilité $P$ que Paul gagne est le rapport du nombre d'issues favorables sur le nombre total d'issues : $P = rac{4}{36}$. En simplifiant cette fraction, nous obtenons $P = 1/9$. Cette approche rigoureuse du dénombrement est essentielle pour réussir cette partie du Brevet.