Analyse de l'énoncé : Tableaux, Fonctions et DNB

Cet exercice, extrait du Brevet 2014 (Polynésie), est typique des épreuves de Mathématiques du DNB. Il évalue la capacité de l'élève à manipuler le concept de fonction (calcul d'images, recherche d'antécédents) et à interpréter des données présentées sous forme de tableur. La compétence "Tableur" est ici centrale, notamment pour lire des résultats et vérifier des formules mathématiques.

Points clés et Méthodologie de Résolution

L'exercice nous présente trois fonctions : une quadratique ($f$), une affine ($g$), et une autre affine ($h$) dont on doit retrouver l'expression. Ce croisement entre algèbre et lecture de tableau est fondamental.

1. Lecture d'une image et d'un antécédent (Q1)

Rechercher un nombre qui a pour image $-7$ par la fonction $f$ revient à chercher l'antécédent $x$ tel que $f(x) = -7$. En lisant la ligne 2 du tableau, on constate que lorsque $x=0$ (colonne C), $f(x)$ vaut $-7$. Un antécédent est donc $0$. Il est important de savoir faire le lien entre la formule mathématique $f(x)$ et la représentation tabulaire.

2. Vérification par le calcul (Q2)

Pour vérifier la valeur de $f(6)$, il faut remplacer $x$ par 6 dans l'expression algébrique de $f$: $f(x) = x^2 + 3x - 7$.

Calcul détaillé : $f(6) = (6)^2 + 3 imes 6 - 7 = 36 + 18 - 7 = 54 - 7 = 47$. Le calcul confirme bien la valeur affichée dans le tableur (cellule F2).

3. Résolution d'équation par le tableur (Q3)

L'équation $x^2 + 3x - 7 = 4x + 5$ se réécrit $f(x) = g(x)$. Le tableau nous donne directement la solution : il suffit de chercher la colonne où les résultats des fonctions $f(x)$ (ligne 2) et $g(x)$ (ligne 3) sont identiques.

On observe que pour $x=4$ (colonne E), $f(4) = 21$ et $g(4) = 21$. La solution de l'équation est donc $x = 4$. Ce type de question montre l'utilité d'un tableur pour résoudre des équations complexes.

4. Détermination de l'expression algébrique (Q4)

La fonction $h$ est affine, elle est de la forme $h(x) = ax + b$. Nous utilisons deux points du tableau pour trouver les coefficients $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l'origine).

• Le point $(0, 5)$ (colonne C) donne $h(0) = 5$. Le coefficient $b$ est donc $5$.
• Utilisons un autre point, par exemple $(2, 1)$ (colonne D). Nous calculons le coefficient directeur $a$: $a = \frac{h(2) - h(0)}{2 - 0} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

L'expression algébrique de $h(x)$ est donc $h(x) = -2x + 5$. La maîtrise des fonctions affines et la capacité à retrouver leur expression à partir de points sont des acquis indispensables pour le Brevet.