Cet exercice sur la **Géométrie plane**, issu de l'épreuve du Brevet 2014 en Polynésie, est un classique permettant de vérifier votre maîtrise des propriétés fondamentales des triangles, notamment les triangles isocèles et la gestion des angles intérieurs et extérieurs.
Analyse de l'énoncé
L'exercice porte sur un triangle ABC isocèle en A. Cela signifie que les angles à la base, $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{ACB}}$, sont égaux. La longueur BC = 5 cm est donnée, mais elle est surtout utile pour la construction à l'échelle (Question 1.a) et n'intervient pas dans les calculs d'angles.
La partie la plus importante concerne les **angles extérieurs**. Il faut se souvenir de la définition : un angle intérieur et son angle extérieur adjacent sont toujours supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme est égale à $180^\circ$. Cette connaissance est essentielle pour passer de la mesure de l'angle intérieur à celle de l'angle extérieur correspondant.
Question 1 : Cas particulier $\widehat{\text{ABC}} = 40^\circ$
Dans ce cas, on calcule d'abord les trois angles intérieurs :
- $\widehat{\text{ACB}} = \widehat{\text{ABC}} = 40^\circ$ (Propriété du triangle isocèle).
- $\widehat{\text{BAC}} = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ$ (Somme des angles d'un triangle).
On peut ensuite déterminer les angles extérieurs (Question 1.b) en utilisant la propriété des angles supplémentaires ($180^\circ - \text{angle intérieur}$) :
- Angle extérieur en B : $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
- Angle extérieur en C : $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
- Angle extérieur en A : $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Enfin, la vérification (Question 1.c) donne : $140^\circ + 140^\circ + 80^\circ = 360^\circ$.
Question 2 : La règle fondamentale
La question 2 est une question de synthèse et de raisonnement qui fait appel à une propriété fondamentale. Elle demande si la somme des angles extérieurs peut être différente de $360^\circ$. La réponse est non. La somme des mesures des angles extérieurs d'un triangle est toujours égale à $360^\circ$, et ce, quel que soit le type de triangle.
Ce résultat découle directement du fait que la somme des angles intérieurs est toujours $180^\circ$. Si l'on somme les trois angles intérieurs et leurs angles extérieurs correspondants, on obtient $3 \times 180^\circ = 540^\circ$. Puisque la somme intérieure vaut $180^\circ$, la somme extérieure vaut $540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$.
Points clés à retenir pour le Brevet
- Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
- Angle intérieur + Angle extérieur = $180^\circ$ (Angles supplémentaires).
- La somme des angles extérieurs d'un triangle est toujours $360^\circ$.