Analyse et Objectifs de l'Exercice

Cet exercice de géométrie est un grand classique du Diplôme National du Brevet (DNB). Il est conçu pour vérifier la maîtrise de trois des notions fondamentales de 3ème : le théorème de Pythagore (sa réciproque), le théorème de Thalès, et la trigonométrie. Chaque question correspond à l'application rigoureuse de l'un de ces outils.

Points clés de la Résolution

Question 2 : Prouver qu'un triangle est rectangle (Réciproque de Pythagore)

Pour prouver que le triangle ABC est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Il faut vérifier si le carré du plus grand côté (l'hypoténuse potentielle, ici AC = 10,4 cm) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (AB = 4 cm et BC = 9,6 cm).

• Calcul de $AC^2$ : $10,4^2 = 108,16$
• Calcul de $AB^2 + BC^2$ : $4^2 + 9,6^2 = 16 + 92,16 = 108,16$

Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, l'égalité de Pythagore est vérifiée. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est bien rectangle en B.

Question 3 : Calculer une longueur (Théorème de Thalès)

Les points C, L, A et C, K, B sont alignés et les droites (KL) et (AB) sont parallèles. Ces conditions permettent d'appliquer le théorème de Thalès dans le triangle CAB. Le point C est le sommet commun.

L'égalité des rapports est : $\frac{CK}{CB} = \frac{CL}{CA} = \frac{KL}{AB}$.

Nous cherchons CL. Nous utilisons les rapports impliquant les longueurs connues : $\frac{CK}{CB} = \frac{CL}{CA}$.

• $CK = 3$ cm
• $CB = 9,6$ cm
• $CA = 10,4$ cm

En remplaçant : $\frac{3}{9,6} = \frac{CL}{10,4}$.

On isole CL : $CL = \frac{3 \times 10,4}{9,6} = \frac{31,2}{9,6} = 3,25$ cm.

Question 4 : Calculer un angle (Trigonométrie)

Puisque nous avons prouvé que le triangle ABC est rectangle en B (Q2), nous pouvons utiliser la trigonométrie (SOH CAH TOA) pour calculer l'angle $\widehat{CAB}$.

Pour l'angle $\widehat{CAB}$ :

• Le côté Adjacent est AB = 4 cm.
• L'Hypoténuse est AC = 10,4 cm.

La formule qui relie Adjacent et Hypoténuse est le Cosinus (CAH).

$\cos(\widehat{CAB}) = \frac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{10,4}$.

Pour trouver l'angle, on utilise la fonction arc-cosinus ($\cos^{-1}$) sur la calculatrice :

$$\widehat{CAB} = \cos^{-1}(\frac{4}{10,4}) \approx 67,38\text{°}$$

Arrondi au degré près, l'angle $\widehat{CAB}$ mesure $67\text{°}$.