Analyse de l'énoncé et Maîtrise des Outils
Cet exercice du Brevet 2020 est un excellent exemple de la façon dont les mathématiques, et en particulier les fonctions, permettent de modéliser des situations concrètes de choix économiques. Il teste simultanément votre compréhension de l'outil tableur et votre connaissance des fonctions linéaires et affines.
Le cœur du problème repose sur deux modèles tarifaires :
- Tarif A (Linéaire) : Un coût proportionnel au nombre $x$ de demi-journées ($f(x) = 8x$).
- Tarif B (Affine) : Un coût comprenant une partie fixe (l'adhésion de 30 €) et une partie variable ($g(x) = 30 + 5x$).
Points Clés de la Résolution
1. Le Tableur et les Formules
Remplir le tableau initial (Question 1) est la première étape de vérification des modèles. Par exemple, pour 3 demi-journées : Tarif A = $8 imes 3 = 24$ € ; Tarif B = $30 + 5 imes 3 = 45$ €.
La question 2, sur la formule du tableur, est essentielle pour comprendre l'adressage relatif. Dans la cellule B3 (coût pour 1 demi-journée au Tarif B), on doit utiliser la valeur de la cellule B1 (le nombre de demi-journées, soit 1). La formule est donc le coût fixe (30) plus le coût variable ($5 imes ext{B1}$). La bonne réponse est donc la Réponse D : =30+5*B1.
2. Fonctions et Proportionnalité
La question 3 vous demande d'identifier la situation de proportionnalité. Seule la fonction $f(x) = 8x$ est une fonction linéaire (de la forme $ax$), car sa courbe représentative passe par l'origine $(0, 0)$. La fonction $g(x)$ est affine, mais pas linéaire, à cause de l'ordonnée à l'origine (30).
Pour la représentation graphique (Question 4), la droite représentant $f(x)=8x$ doit impérativement partir de l'origine $(0, 0)$. Utilisez un point calculé, comme (5, 40) ou (10, 80), pour tracer précisément cette droite.
3. Comparaison des Tarifs et Budget
Pour déterminer quand les tarifs sont égaux (Question 5), vous devez résoudre l'équation $f(x) = g(x)$, soit $8x = 30 + 5x$. La résolution algébrique ($3x = 30$) donne $x=10$. Les tarifs sont identiques pour 10 demi-journées.
Enfin, la question 6 nécessite de tester les inéquations avec un budget maximal de 100 €. Le Tarif B ($30 + 5x \le 100$) permet de participer à 14 demi-journées, alors que le Tarif A ($8x \le 100$) n'en permet que 12. C'est le Tarif B qui permet le nombre maximal de participations (14).