Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de fin de collège, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. La géométrie plane en Première repose sur une compréhension parfaite de la proportionnalité et des configurations de Thalès, notions qui évoluent ensuite vers la colinéarité des vecteurs et l'homothétie. L'énoncé nous place dans une situation concrète : la projection d'une ombre. Les éléments clés sont la source lumineuse C, l'objet (la marionnette [DE]) et l'écran (la toile [AB]).
Points de vigilance et prérequis
- Unités de mesure : C'est le piège classique. La marionnette mesure 30 cm tandis que la toile est à 8 m de la source. Pour effectuer des calculs de rapport, il est impératif de convertir toutes les données dans la même unité (soit 30 cm = 0,3 m).
- Propriétés de base : La démonstration du parallélisme est une étape de rigueur souvent négligée. Il faut mobiliser la propriété : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles'.
- Configuration de Thalès : Identifier les triangles emboîtés (CDE et CAB) est essentiel pour établir les rapports de longueurs.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Démonstration du parallélisme :
Sur la figure fournie, nous observons des angles droits aux points B et E. Cela signifie que la droite (AB) est perpendiculaire à (BC) et que la droite (DE) est également perpendiculaire à (BC). D'après le théorème de géométrie plane stipulant que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles, nous en déduisons que (AB) // (DE).
2. Calcul de la position de la marionnette (EC) :
Dans le triangle CAB, les points C, E, B d'une part et C, D, A d'autre part sont alignés. Puisque les droites (AB) et (DE) sont parallèles, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès. Nous obtenons l'égalité des rapports suivants :
CE / CB = CD / CA = DE / AB.
Nous connaissons les valeurs suivantes :
AB = 1,2 m
CB = 8 m
DE = 30 cm = 0,3 m.
En utilisant le rapport CE / 8 = 0,3 / 1,2, nous procédons au produit en croix :
CE = (8 × 0,3) / 1,2
CE = 2,4 / 1,2
CE = 2 mètres.
Conclusion : Le marionnettiste doit placer sa marionnette à 2 mètres de la source de lumière C.
Lien avec le programme de Première Spécialité
En Première, cette configuration peut être abordée sous l'angle de la Géométrie repérée. Si l'on plaçait le point C à l'origine (0,0), les vecteurs ED et BA seraient colinéaires. Cette notion de rapport de projection est également fondamentale lors de l'étude des fonctions trigonométriques et de la projection orthogonale dans le chapitre sur le produit scalaire. Maîtriser ces fondamentaux permet d'appréhender sereinement les démonstrations plus complexes impliquant des vecteurs et des repères orthonormés.