Analyse de l'énoncé et Compétences Clés
Cet exercice, issu du Brevet 2020 de Nouvelle-Calédonie, est un excellent exemple de sujet qui lie les fondamentaux géométriques (Théorème de Pythagore) à la compétence essentielle de « Prise d'initiatives » et de modélisation. L'objectif est double : d'abord, appliquer directement Pythagore sur un triangle abstrait, puis réutiliser cette même structure mathématique pour résoudre un problème concret (l'énigme de la corde et de Melvin).
Résolution Détaillée : Partie 1 (Calcul de BC)
Dans le triangle ABC rectangle en B, l'hypoténuse est AC. D'après le théorème de Pythagore, nous avons : $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
Nous cherchons la longueur BC, donc nous réarrangeons la formule : $BC^2 = AC^2 - AB^2$.
Calculs : $BC^2 = 5,25^2 - 5^2 = 27,5625 - 25 = 2,5625$.
D'où $BC = \sqrt{2,5625} \approx 1,60078$ m.
En arrondissant au dixième (un chiffre après la virgule), on obtient $\mathbf{BC \approx 1,6}$ m.
Résolution Détaillée : Partie 2 (L'énigme de Melvin)
Cette partie demande une étape cruciale de modélisation. Lorsque la corde est soulevée en son milieu, elle forme un triangle isocèle. Si nous considérons la moitié de cette installation, nous obtenons un triangle rectangle, où :
- L'hypoténuse (H) est la moitié de la corde : $H = 10,5 \div 2 = 5,25$ m.
- Le côté adjacent (L) est la moitié de la distance entre les poteaux : $L = 10 \div 2 = 5$ m.
- La hauteur maximale atteinte (h) est le côté opposé.
On applique de nouveau Pythagore : $h^2 = H^2 - L^2 = 5,25^2 - 5^2$. Remarquez que ce calcul est rigoureusement identique à celui de la question 1 !
Nous trouvons $h = \sqrt{2,5625} \approx 1,60$ m.
Puisque la hauteur maximale de la corde (1,60 m) est supérieure à la taille de Melvin (1,55 m), Melvin pourra passer sous la corde sans se baisser. C'est la confirmation de la pertinence de la modélisation.
Points clés
- La modélisation d'une situation concrète en figure géométrique (triangle rectangle) est souvent la clé de la réussite.
- Il faut toujours identifier correctement l'hypoténuse avant d'appliquer Pythagore.
- N'oubliez jamais l'arrondi si demandé, car une réponse exacte sans arrondi est considérée comme incorrecte au Brevet.