Analyse de l'énoncé et Notions Clés

Cet exercice du Brevet 2020 en Polynésie est une excellente révision des chapitres de géométrie plane et des transformations. Le motif initial est une figure composite (carré + triangle), ce qui nécessite de mobiliser à la fois le calcul de longueurs (Pythagore), d'aires, et l'identification des mouvements dans le plan (pavage).

Partie 1 : Dimensions et Aires

Le motif est composé d'un carré ABCE de côté 5 cm et d'un triangle EDC, rectangle et isocèle en D.

• Angles : Dans le triangle EDC, rectangle et isocèle en D, les angles aigus sont égaux. Ils mesurent $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Donc $\widehat{DEC} = \widehat{DCE} = 45^\circ$.
• Calcul de la longueur DE (Théorème de Pythagore) : Le segment [EC] est un côté du carré, donc $EC = 5$ cm. Dans le triangle EDC rectangle en D, le théorème de Pythagore donne $DE^2 + DC^2 = EC^2$. Puisque le triangle est isocèle, $DE = DC$. L'égalité devient $2 imes DE^2 = 5^2 = 25$. $DE^2 = 12,5$. $DE = \sqrt{12,5} \approx 3,535$ cm. Au dixième de centimètre près, $DE \approx 3,5$ cm.
• Calcul de l'aire : L'aire totale est la somme de l'aire du carré ($A_{carré}$) et de l'aire du triangle ($A_{triangle}$). $A_{carré} = 5^2 = 25 ext{ cm}^2$. $A_{triangle} = (DE imes DC) / 2 = 12,5 / 2 = 6,25 ext{ cm}^2$. Aire totale : $25 + 6,25 = 31,25 ext{ cm}^2$. Au centimètre carré près, l'aire est $31 ext{ cm}^2$.

Partie 2 : Transformations du Plan (Pavage)

L'étude du pavage implique d'identifier la nature des déplacements entre les motifs :

1. Du motif 1 au motif 2 : Les motifs partagent le côté BC ou un sommet commun important. Il s'agit d'une Rotation (autour du sommet C ou B, selon l'orientation choisie dans l'énoncé).
2. Du motif 1 au motif 3 : Les motifs sont décalés sans changer d'orientation. C'est une Translation.
3. Du motif 1 au motif 4 : Le motif 4 est orienté différemment, de façon opposée (rotation $180^\circ$). Il s'agit d'une Symétrie centrale (ou Rotation de centre l'intersection des diagonales du carré commun aux quatre motifs centraux et d'angle $180^\circ$).
4. Du motif 2 au motif 3 : Les deux motifs sont adjacents et décalés. C'est une Translation.

Partie 3 : Agrandissement-Réduction

Un agrandissement de rapport $k=3/2$ signifie que toutes les longueurs sont multipliées par $k$. Les aires sont multipliées par $k^2$.

• Construction : Le côté du carré agrandi sera $5 imes 1,5 = 7,5$ cm. Les côtés du triangle rectangle agrandi seront $3,5 imes 1,5 = 5,25$ cm (ou plus précisément $\sqrt{12,5} imes 1,5 \approx 5,30$ cm).
• Coefficient d'aire : Pour obtenir l'aire agrandie, on doit multiplier l'aire initiale par le carré du coefficient d'agrandissement : $k^2 = (3/2)^2 = 9/4$.