Analyse de l'énoncé : Révision complète de la Géométrie en 3ème

Cet exercice type Brevet est un classique pour évaluer votre maîtrise des outils géométriques fondamentaux. Il propose une série de questions articulées autour de la figure de Thalès en configuration « papillon » (ou sablier), suivie d’une vérification du triangle rectangle (Pythagore) et de la compréhension des transformations et des propriétés des agrandissements-réductions sur les aires.

La clé pour débuter est de reconnaître la configuration de Thalès étant donné que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que les droites (AD) et (BC) sont sécantes en E.

Points clés et méthodes de résolution détaillées

1. Démontrer EC (Théorème de Thalès)

Dans la configuration de Thalès avec (AB) parallèle à (CD), nous avons l'égalité des rapports : $\frac{EC}{EB} = \frac{ED}{EA} = \frac{CD}{AB}$. En utilisant les valeurs connues : $CD = 6$, $AB = 9$, et $EB = 7,2$. Nous obtenons : $\frac{EC}{7,2} = \frac{6}{9}$. Par produit en croix : $EC = \frac{6 \times 7,2}{9} = \frac{43,2}{9} = 4,8 \text{ cm}$. La première question est vérifiée.

2. Le triangle ECD est-il rectangle ? (Réciproque de Pythagore)

Pour déterminer si le triangle ECD est rectangle, nous appliquons la réciproque du théorème de Pythagore. Le plus long côté est $[CD]$, de longueur 6. Nous vérifions si $ED^2 + EC^2 = CD^2$.

• $ED^2 + EC^2 = (3,6)^2 + (4,8)^2 = 12,96 + 23,04 = 36$.
• $CD^2 = 6^2 = 36$.

Puisque $ED^2 + EC^2 = CD^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ECD est rectangle en E.

3. Identifier la Transformation

Le triangle ABE est un agrandissement du triangle ECD. Les côtés sont alignés mais dans des directions opposées par rapport au centre E. La transformation qui agrandit (ou réduit) une figure autour d'un point fixe est l'Homothétie de centre E. (Le coefficient d'agrandissement est $k = 9/6 = 1,5$ ou $-1,5$ si l'on considère l'orientation).

4. Justifier l'affirmation sur les Aires (Agrandissement-Réduction)

L'affirmation est FAUSSE. Si le rapport des longueurs (rapport linéaire ou coefficient d'agrandissement $k$) est $1,5$, alors le rapport des aires est égal à $k^2$. Le rapport des aires est donc $(1,5)^2 = 2,25$. L'aire du triangle ABE est 2,25 fois plus grande que l'aire du triangle ECD, et non pas 1,5 fois plus grande.