Analyse de l'énoncé : Fonctions et Choix Économique

Cet exercice, issu du Brevet 2022 (Métropole), est un classique incontournable de la classe de Troisième. Il évalue votre capacité à modéliser des situations concrètes (ici, la location de voiture) à l'aide de fonctions mathématiques : fonctions linéaires, affines et constantes. Les notions officielles couvertes sont les Fonctions, la résolution d'Équations du premier degré, et la Lecture graphique.

Modélisation des Tarifs

L'étape cruciale est de bien identifier le type de fonction pour chaque tarif et de vérifier les unités (convertir les centimes en euros) :

• Le Tarif Affaire (0,50€ par km) est une fonction linéaire : $m(x) = 0,5x$. Elle est représentée par une droite passant par l'origine.
• Le Tarif Voyage court (forfait 120€ + 20 centimes/km) est une fonction affine : $n(x) = 0,2x + 120$. Son ordonnée à l'origine est 120.
• Le Tarif Voyage long (230€ forfait) est une fonction constante : $l(x) = 230$. Elle est représentée par une droite horizontale.

Points clés pour la réussite

1. Résolution Algébrique (Question 3.b)

Pour déterminer le nombre de kilomètres $x$ où le tarif “Voyage court” est égal au tarif “Affaire”, la démarche est de poser l'équation $n(x) = m(x)$. Soit $0,2x + 120 = 0,5x$. La résolution implique d'isoler $x$ : $120 = 0,5x - 0,2x$, donc $120 = 0,3x$. Ce type d'équation est fondamental pour le Brevet.

2. Interprétation Graphique (Question 4)

Le graphique permet de vérifier visuellement les résultats algébriques et d'interpréter les zones d'avantages. Tracer les trois droites nécessite de calculer quelques points (par exemple, pour $m(x)$ et $n(x)$, deux points suffisent ; $l(x)$ est une ligne droite à $y=230$). La lecture graphique demande de trouver l'abscisse $x$ où la droite représentant $l(x)$ passe en dessous des autres courbes (ou les intersecte) pour être le plus avantageux. Vous cherchez l'intersection entre $l(x)$ et le tarif le plus élevé au-delà de cette distance, généralement $n(x)$ ou $m(x)$ selon le graphique.