Analyse de l'énoncé : Du Programme au Calcul Littéral

Cet exercice, issu du Brevet 2022 en Polynésie, est un classique incontournable du programme de 3ème. Il fait le lien entre une suite d'instructions (le programme de calculs) et son expression algébrique (calcul littéral). La difficulté réside souvent dans la traduction des étapes, en particulier lorsque celles-ci se ramifient et impliquent une identité remarquable spécifique : $(a+b)(a-b)$.

Points clés et Notions Officielles

• Programme de calculs : Appliquer rigoureusement les étapes données, d'abord avec des nombres précis (substitution).
• Calcul littéral : Remplacer le nombre de départ par la variable $x$ pour généraliser le processus.
• Identités Remarquables : Reconnaître et utiliser l'identité $(x+5)(x-5)$ qui est de la forme $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Cette étape est fondamentale pour simplifier l'expression.
• Développement et Réduction : La capacité à transformer une expression factorisée en une expression développée et simplifiée.

Méthodologie détaillée

1. Applications numériques (Question 1)

Pour vérifier si l'on obtient 49 en choisissant 7 : On obtient $(7+5) imes (7-5) + 25$. Soit $12 imes 2 + 25 = 24 + 25 = 49$. La vérification est correcte.

Pour $x = -4$ : On calcule $((-4)+5) imes ((-4)-5) + 25$. Soit $(1) imes (-9) + 25 = -9 + 25 = 16$.

2. Généralisation et Calcul littéral (Question 2)

2.a. Expression en fonction de $x$: L'expression littérale du résultat est $R(x) = (x+5)(x-5) + 25$.

2.b. Développer et réduire : On utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2$ avec $a=x$ et $b=5$. $$(x+5)(x-5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$$

2.c. Conclusion : En reprenant l'expression totale du programme de calcul :$$R(x) = (x+5)(x-5) + 25$$En substituant le développement trouvé :$$R(x) = (x^2 - 25) + 25$$$$R(x) = x^2$$Ainsi, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat obtenu est toujours le carré de ce nombre. Sarah a raison. Ce type d'exercice montre la puissance du calcul littéral pour prouver des propriétés générales.