Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité aborde des notions de géométrie plane, notamment la trigonométrie et l'utilisation du théorème de Thalès. L'énoncé fournit une figure (non à l'échelle) avec des indications de longueurs et d'angles. Il s'articule autour de démonstrations géométriques et de calculs.

Points de vigilance

• Trigonométrie : Revoir les relations trigonométriques dans un triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente) et leur application.
• Théorème de Thalès : Maîtriser l'énoncé et les conditions d'application.
• Propriétés des triangles : Connaître les propriétés des triangles rectangles, des triangles semblables et des angles.
• Calcul d'aire : Savoir calculer l'aire d'un triangle.

Correction détaillée / Guide de résolution

1. Prouver que [AB] mesure 4 cm.

On peut utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle ABC. On connaît l'angle en C (60 degrés), et la longueur AC. On peut utiliser la tangente de l'angle ACB: tan(60°) = AB/AC, d'où AB = AC * tan(60°). Avec AC = 2.2-0 =2.2-1.2=1, AB = 1.2 * tan(60°) = 1.2 * (racine de 3). Il faut probablement utiliser une autre méthode.

2. Démontrer que (BC) et (DE) sont parallèles.

Utiliser la réciproque du théorème de Thalès. Il faut prouver l'égalité des rapports CA/CE = BA/BD. Calculer les longueurs manquantes. En effet, il y a des valeurs numériques pour AC, AE, AB, AD, qui pourraient être utilisées.

3. Déduire que (DB) est perpendiculaire à (DE).

Si (BC) // (DE) et que l'angle en B est droit (car le triangle ABC est un triangle rectangle), alors (DB) et (DE) sont perpendiculaires.

4. Calculer l'aire du triangle ADE.

Calculer la longueur DE à l'aide du théorème de Thalès. Calculer l'aire avec la formule (1/2) * base * hauteur. (Base = DE, Hauteur = AD).